1. 서 론

강수자료는 수공구조물 설계, 홍수 또는 가뭄 등 연구를 목적으로 입력자료로 이용되고 있다. 이러한 자료는 다양한 지역의 기후 패턴을 이해하고, 기후 변화에 따른 영향을 평가하는데 중요한 역할을 한다. 최근 기후 변화의 영향으로 인해 수문 변동성이 증가함을 고려하기 위한 강수량 모의 기법이 중요해지고 있다. 이에 따라, 최근 연구들은 강수량 데이터 수집의 중요성이 강조되고 있다. 강수량 측정 오류, 데이터 누락, 시공간적 한계로 인한 상세한 시간의 강수량 자료 부족 등이 주요 과제로 나타나고 있다^{(Morbidelli et al., 2021)}. 이러한 배경으로 다양한 강수모형이 개발되고 있는데, 이 중 확률적 모형은 여러 기간의 강우를 만들어 내기 위해 사용할 수 있다. 확률적 모형에는 Neyman-Scott Rectangular Pulse Model (NSRPM), Bartlett-Lewis Rectangular Pulse Model (BLRPM) 그리고 기후 발생기(Weather Generator) 등이 있다^{(Neyman and Scott, 1958; Hann et al., 1976)}.

강수량 모의를 위한 확률적 모형 중 NSRPM과 BLRPM은 포아송 과정을 따르는 모형이다. 수문학 분야에서 포아송 과정에 대한 주요 연구로는 ^{Rodriguez-Iturbe et al.(1984)}, ^{Islam et al.(1990)} 등이 있다. ^{Rodriguez-Iturbe et al.(1987)}에 따르면, 포아송 과정을 따르는 모델들은 강우 군집화를 강화하기 위해 Bartlett-Lewis 및 Neyman-Scott 과정을 포함하는 모델로 발전하였고, 이후 군집 효과를 조절하는 수정 모델들이 제시되었다^{(Rodriguez-Iturbe et al., 1988; Entekhabi et al., 1989)}. Neyman-Scott 과정과 Bartlett-Lewis 과정은 다양한 시간 스케일의 누적 강우를 나타내는 생성 모델로 광범위하게 연구되었는데, 이 두 과정은 강우 세포의 시간적 배치 방식에 따라 구분된다. Neyman-Scott 모델에서 강우 세포들은 강우 사건 발생 지점에 위치하는 반면, Bartlett-Lewis 모델에서는 연속된 강우 세포들 사이의 시간 간격이 독립적이고 동일한 분포를 갖는다고 가정한다. ^{Velghe et al.(1994)}에 따르면, 모델 추정에서 적률 방정식의 선택과 매개변수 추정을 위한 초기값 선택은 Neyman-Scott 모델보다 Bartlett-Lewis 모델에서 더 큰 변동을 초래한다.

BLRPM은 하나의 지점에 대한 연속시간 강수를 모의하는 데 있어 일 단위 및 그 이하의 시간 규모에서의 통계적 특성을 효과적으로 재현할 수 있는 것으로 알려져 있다. 그러나 이 모형은 무강수 기간의 비율을 정확히 재현하는 데 한계가 있어 이를 보완하기 위해, ^{Rodriguez-Iturbe et al.(1988)}은 기존 모형에 매개변수를 1개를 더 추가한 Modified Bartlett-Lewis Rectangular Pulse Model(MBLRPM)을 제안하였다. MBLRPM은 강수의 복잡한 물리적 특성을 단순화하여, 적은 수의 매개변수로 다양한 지역과 계절의 강수를 효과적으로 모의할 수 있는 장점이 있다^{(Onof et al., 2000)}. 또한, 국내에서도 BLRPM을 이용한 연구가 진행되었다. ^{Kim et al.(2013)}은 7월에 대해서 20년 이상의 시간 단위 강우 자료를 활용하여 군집화 최적화 기법을 적용한 BLRPM을 지역화하는 연구를 수행하였다. 또한 ^{Kim et al.(2014)}은 일 단위 이하 강수량의 평균적 특성뿐만 아니라 극치 강수량의 통계적 특성을 동시에 구현하고 매개변수 추정에 있어서 Bayesian 기법을 연계한 Bayesian MBLRPM을 제안하였다.

하지만, 매개변수 추정의 어려움은 이 모델의 구축에 있어 큰 도전 과제로 남아 있다. 특히, 기존 최적화 방법들이 모형의 매개변수 추정에 실패하는 경우가 많았고, 모형이 매개변수에 민감하게 반응하는 문제를 겪었다^{(Verhoest et al., 1997)}. 이를 개선하기 위해 다양한 최적화 기법들이 도입되었으며, Downhill Simplex Method(DSM), Simplex-Simulated Anealing(SSA) 및 Particle Swarm Optimization(PSO) 등이 모델의 개선된 재현 능력을 입증한 바 있다^{(Vanhaute et al., 2012)}. 또한, ^{Yusop et al.(2014)}은 Weibull, Log Pearson 3, Gamma, 그리고 Beta 분포형 등을 활용하여 BLRPM에 적용하였다. 이러한 선행 연구에서의 적용과 매개변수 추정에서의 문제를 해결하기 위해, 본 연구에서는 MBLRPM에 세 가지 분포형을 적용하여 그 적합성을 알아보고자 한다.

본 연구에서는 MBRLP 모형을 활용하여 일 강수량 생성 과정에서 사용되는 매개변수의 적합성을 평가하는 데에 중점을 두었다. 지수 분포, Gamma 분포, 그리고 Weibull 분포 세 가지 다른 분포형을 적용함으로써 각각의 매개변수가 일 강수량 모의에 어떠한 영향을 미치는지에 대한 불확실성을 분석하였다. 이를 통해 각 매개변수의 적용 시 어떤 분포형이 가장 적합한 결과를 생성하는지 알아보았다. 대상 지역은 감천 유역으로 하며, 추풍령, 구미 그리고 거창 관측소의 일 강수 자료를 활용하였다.

2. 연구방법

2.1 Modified Bartlett-Lewis Rectangular Pulse Model

^{Rodriguez-Iturbe et al.(1987)}은 강수와 셀 특성을 나타내기 위해 5개의 매개변수$(\lambda ,\: k,\: \mu_{x},\: \phi ,\: \eta)$를 사용한 Bartlett-Lewis Rectangular Pulse Model(BLRPM)을 개발하였다. 모형에서 $\lambda$는 포아송 과정을 따르는 강수의 도달시간을 결정한다. 셀의 도달시간은 매개변수 $\beta$에 의해 결정되며 셀의 깊이는 $\mu_{x}$를 매개변수로 갖는 지수 분포에 의해 결정된다. 강수 전체의 길이는 지수 분포를 갖는 매개변수 $\gamma$에 의해 결정된다. 각각의 셀 길이들은 $\eta$를 매개변수로 갖는 지수 분포로 표현되며, 수학적 편의를 위해 $\gamma$와 $\beta$는 $k =\beta /\eta$, $\phi =\gamma /\eta$로 무차원화한다. 그러나, BLRPM은 다양한 시간 스케일에서의 통계치 재현 능력은 뛰어나지만, 무강수 기간의 비율을 정확히 예측하지 못하는 문제점이 있었다. 이러한 문제를 해소하기 위해 ^{Rodriguez-Iturbe et al.(1988)}은 이 문제를 해결하기 위해 기존 모델에 추가 매개변수를 포함한 Modified Bartlett-Lewis Rectangular Pulse Model(MBLRPM)을 도입했다. BLRPM의 일반적인 가정으로는 다음 (1)-(5)와 같다.

(1) 호우의 발생 $t_{i}$는 인수 $\lambda$ 속도로 포아송 과정을 따른다.

(2) 셀의 발생 $t_{ij}$는 $\beta$ 속도로 포아송 과정을 따른다.

(3) 셀 도착은 매개변수 $\gamma$로 지수 분포를 따라 무작위로 종료된다.

(4) 각 셀은 매개변수 $\eta$로 지수 분포를 따라 지속 시간 $\omega_{ij}$를 가진다.

(5) 각 셀은 지정된 분포를 가진 균일한 강도 $x_{ij}$를 가진다.

MBLRPM에서는 셀의 길이를 결정하는데 $\eta$ 대신에 형상인자 $\alpha$와 규모 인자 $1/\nu$를 갖는 감마분포를 사용한다. 따라서 매개변수 $\eta$는 매개변수 $\alpha$와 $1/\nu$로 대체되어, 모델은 6개 매개변수($\lambda ,\: k,\: \mu_{x},\: \phi ,\: \alpha ,\: 1/\nu$)로 구성된다. 모형의 통계치는 강수의 집성 시간 별 평균, 분산, 지체시간 $s$인 자기 공분산, 무 강수 기간의 비율로 표현된다. 여기서, 본 연구는 강수의 집성 시간을 1시간, 24시간 및 48시간을 적용하였다. 모형의 통계치에 대한 표현에는 Eq. (1)은 평균을 나타내며, Eq. (2)는 분산, Eq. (3)은 지체시간 $s$인 자기 공분산 그리고 Eqs. (4)~(4.3)는 무강수기간의 비율을 나타낸다. 편의상 $k_{1}$과 $k_{2}$는 Eqs. (5) & (6)으로 매개 변수화하였다.

(1)

$Mean= λ μ_{x}μ_{c}\dfrac{ν}{α - 1}T$

(2)

$Variance= \dfrac{2 ν^{2 - α}T}{α - 2}\left(k_{1}-\dfrac{k_{2}}{ϕ}\right)-\dfrac{2 ν^{3 - α}}{(α - 2)(α - 3)}\left(k_{1}-\dfrac{k_{2}}{ϕ^{2}}\right)$

$+\dfrac{2}{(α - 2)(α - 3)}(k_{1}(T+ ν)^{3 - α}-\dfrac{k_{2}}{ϕ^{2}}(ϕ T+ ν)^{3 - α}$

(3)

$Autocovariance(lag-s)=\dfrac{k_{1}}{(\alpha -2)(\alpha -3)}$

$\left\{(T(s-1)+\nu)^{3-\alpha}+(T(s+1)+\nu)^{3-\alpha}-2(Ts+\nu)^{3-\alpha}\right\}$

$+\dfrac{k_{2}}{ϕ^{2}(\alpha -2)(\alpha -3)}$

$\left\{2(ϕTs+\nu)^{3-\alpha}-(ϕT(s-1)+\nu)^{3-\alpha}-(ϕT(s+1)+\nu)^{3-\alpha}\right\}$

(4)

$P(zero\; rain)= e^{(- λ T - f_{1}+ f_{2}+ f_{3})}$

(4.1)

$f_{1}=\dfrac{\lambda\nu}{ϕ(\alpha -1)}\left(1+ϕ\left(k+\dfrac{ϕ}{2}\right)-\dfrac{1}{4}ϕ(k+ϕ)(k+4ϕ)+\right.$

$\left . +\dfrac{ϕ(K+ϕ)\left(4k^{2}+27kϕ+72ϕ^{2}\right)}{72}\right)$

(4.2)

$f_{2}=\dfrac{λν}{(k+ ϕ)(α - 1)}\left(1 - k - ϕ +\dfrac{3}{2}ϕ k+ ϕ^{2}+\dfrac{k^{2}}{2}\right)$

(4.3)

$f_{3}=\dfrac{\lambda\nu}{(k+ϕ)(\alpha -1)}\left(\dfrac{\nu}{\nu +T(k+ϕ)}\right)^{\alpha -1}$

$\dfrac{k}{ϕ}\left(1-k-ϕ+\dfrac{2}{3}kϕ+ϕ^{2}+\dfrac{k^{2}}{2}\right)$

(5)

$k_{1}=(2\lambda\mu_{c}\mu_{x}^{2}+\dfrac{\lambda\mu_{c}k\phi\mu_{x}^{2}}{\phi^{2}-1})(\dfrac{\nu^{\alpha}}{\alpha -1})$

(6)

$k_{2}=(\dfrac{\lambda\mu_{c}k\mu_{x}^{2}}{\phi^{2}-1})(\dfrac{\nu^{\alpha}}{\alpha -1})$

여기서, $\lambda$는 강수의 도달시간, $\beta$는 셀의 도달시간, $\mu_{x}$는 셀의 깊이, $\mu_{c}$는 강수 당 셀의 수 평균값으로, $\mu_{c}=1+k/\phi$와 같이 표현한다. $\alpha$는 형상인자, $1/\nu$는 규모 인자이며, $c$는 강수 당 셀의 수, $T$는 대상 집성 시간이고, $s$는 지체시간으로 일반적으로 1이 사용된다^{(Kim et al., 2014)}.

Fig. 1. Bartlett-Lewis Rectangular Pulse Process(Kim et al., 2016)

Fig. 2. Map of Weather Stations with Gamcheon Basin in this Study

3. 적용 결과

본 연구는 감천 유역에 대해 MBLRPM을 적용해 보았다. 김천 지역에 위치한 감천 유역은 동경 128°18′40″~127°52′30″, 북위 35°49′30″~36°15′10″ 사이에 자리 잡고 있다. 감천 유역은 낙동강 유역에 포함된 중권역으로써 국가 하천인 감천 중 하류부와 지방하천인 감천 상류부 및 10여 개의 지류들로 구성되어 있다. 북으로는 상주시와 구미시와 인접해 있고, 동으로는 성주군과 칠곡군, 서로는 전라북도 무주와 충청북도 영동군, 남으로는 경상남도 거창군이 위치한다^{(Ahn et al., 2009; Han et al., 2009)}. 감천 유역의 강수량 자료를 수집하기 위해 기상청 관할 지역인 추풍령, 구미, 거창 관측소의 데이터를 활용하였다. 관측소의 현황은 Table 1과 같다.

세 관측소의 1992년부터 2022년까지 강수량 자료를 활용하여 20년씩 이동하며 일 강수량 생성에 사용할 매개변수 추정을 위한 통계치를 계산하였다. 추정된 매개변수를 바탕으로, 1년 동안의 일 강수량을 생성 과정을 반복하여 총 10년의 일 강수량 생성 결과와 실제 강수 패턴과의 일치도를 평가하였다. 일 강수량 생성 과정은 ^{Koutsoyiasnnis and Onof(2001)}에 의해 제시된 BLRPM 파라미터 추정 방법인 Evalutionary Annealing-Simplex (EAS) 방법을 적용하였다. 또한, 월별 강수 특성을 반영하기 위해, 월별로 통계치를 계산한 후 일 강수량을 생성하였다. 또한, 월별 강수 특성을 반영하기 위해, 월별로 통계치를 계산한 후 일 강수량을 생성하였다. 파라미터 추정을 위한 통계치로는 1시간 평균(mean1), 1시간 분산(var1), lag1 1시간 공분산(cov1lag1), 1시간 무강우 비율(pdr1), 1일 평균(mean24), 1일 분산(var24), lag1 24시간 공분산(cov24lag1), 24시간 무강우 비율(pdr24), 2일 평균(mean48), 2일 분산(mean48), lag1 48시간 공분산(cov48lag1), 48시간 무강우 비율(pdr48)을 이용하였다. 다음 Table 2는 1992년부터 2021년까지 월별 통계치를 나타낸다.

추정된 파라미터는 다음 Table 3~5와 같으며, Table 3은 추풍령 관측소, Table 4는 구미 관측소, Table 5는 거창 관측소이다. Table 3~5에서 표현한 매개변수는 lambda=$\lambda$, phi=$\phi$=$\gamma /\eta$, kappa=$\kappa$=$\beta /\eta$, v=$\eta$, mx=$\mu_{x}$, sxmx=$\mu_{x}/\eta$이다.

시 강수량 자료를 이용하여 추정된 매개변수를 이용해 3,650일(10년) 동안의 강수를 모의하였다. 모의 된 강수의 월 강수량을 최근 10년(2013~2022년)의 강수량과 비교한 결과를 Fig. 3에 도시하였다. 실제 관측값(2013~2022년)과 모의 된 강수량을 비교하였을 때, 모의 된 강수량이 낮게 추정되는 경향을 보였다. Fig. 4의 월별 분산을 비교한 결과를 통해 확인할 수 있다. Fig. 4에서 6~9월을 제외한 달에는 실제 관측치와 유사한 경향과 값을 보인다. 하지만, 장마철인 여름(6, 7, 8월)에는 실제 관측치의 분산이 약 400~500인 반면, 모든 분포형이 100 이하인 것을 확인할 수 있다. 지역별로 비교하였을 때, 추풍령 지역에서 관측값은 144 mm지만, 모의 된 강수의 최대 일 강수량은 분포형 별로 각각 66.28 mm, 67.08 mm, 47.27 mm로 실제 관측치보다 적은 양을 모의하였다. 구미 지역의 실제 관측된 최대 일 강수량은 151.3 mm인 반면, 모의 된 최대 일 강수량은 지수 분포형이 65.43 mm, Gamma 분포형이 54.76 mm, Weibull 분포형이 46.92 mm이다. 거창 지역은 최대 일 강수량이 184.5 mm이었으며, 지수 분포형은 78.87 mm, Gamma 분포형은 56.36 mm, Weibull 분포형은 151.35 mm로 추풍령 지역과 구미 지역은 Weibull 분포형이 가장 작은 일 강수량을 보였지만, 거창 지역은 다른 지역에 비해 Weibull 분포형이 관측값에 가장 가까운 극치를 모의하였다.

Fig. 5는 모의 된 강수의 무강수일 비율을 비교하여 도시한 결과이다. 관측값과 비교하였을 때, 추풍령 지역은 무 강수 일 비율 차이는 지수 분포는 13.17 %, Gamma 분포는 14.90 %, Weibull 분포는 13.30 %이다. 추풍령 지역은 지수 분포형을 활용하였을 때, 실제 관측된 무 강수 일 비율과 가장 차이가 적었다. 구미 지역은 Gamma 분포형은 15.76 %, Weibull 분포형이 15.80 %로 유사한 차이를 보였다. 거창은 다른 지역에 비해 차이가 크게 났지만, Gamma 분포형은 21.10 %의 차이를 보였고, Weibull 분포형이 27.88 %로 관측값과 가장 큰 차이를 보였다. 계절별로 비교하였을 땐, 추풍령 지역에서는 세 분포형 모두 여름철 무 강수 일 비율 차이가 가장 크게 나타났다. 구미 지역 또한, 지수 분포형과 Weibull 분포형은 여름철에 차이가 가장 컸으며, Gamma 분포형은 봄철에 차이가 가장 크게 나타남을 알 수 있다. 지점별 계절에 따른 차이는 다음 Table 6과 같다.

모의 된 분포 형별 일 강수량을 월별로 비교한 평균을 Fig. 6에 도시하였다. 2013년~2022년의 실제 관측치와의 월별 평균에 대한 상관계수를 비교하였을 때, 추풍령 지역에선, 지수 분포의 상관계수는 0.81, Gamma 분포의 상관계수는 0.52, Weibull 분포의 상관계수는 0.86으로 Weibull 분포형이 실제 관측값과 가장 높은 상관도를 보였다. 구미 지역 또한 Gamma 분포형이 0.65로 가장 낮은 값을 보였고, Weibull 분포형이 0.92로 가장 높은 값을 보였다. 거창 지역은 지수 분포형이 0.87로 가장 높았으며, 다른 지역과 동일하게 Gamma 분포형이 0.53으로 가장 낮았다. 평균의 비교를 통해, Gamma 분포형은 실제 관측값에 비교하였을 때, 가장 낮은 상관도를 보이고 있음을 알 수 있다.

Fig. 3. Scatter Plot of Monthly Precipitation of Generated Data with Observed Rainfall (2013~2022): (a) Chupungnyeong, (b) Gumi, (c) Geochang

Fig. 4. Comparison of Monthly Precipitation Variance between Observed Rainfall and Generated Rainfall(2013~2022): (a) Chupungnyeong, (b) Gumi, (c) Geochang

Fig. 5. Proportion of Non-Precipitation Day of Generated Data with Observed Data (2013~2022): (a) Chupungnyeong, (b) Gumi, (c) Geochang

Fig. 6. Comparison of Mean of Monthly Precipitation between Observed Rainfall and Generated Rainfall(2013~2022): (a) Chupungnyeong, (b) Gumi, (c) Geochang

4. 결 론

강수 자료는 다양한 수문 모형의 입력 데이터로써 수자원 계획에 있어 필수적이지만, 시공간적 한계로 인해 강수 자료 취득에 어려움이 있다. 이러한 문제를 개선하기 위해, 강수 자료를 효과적으로 모의할 수 있는 여러 강수 모의 기법이 활용되고 있다. 본 연구에서는 일 강수량 모의를 위해 사용된 매개변수들의 적합성에 대해 알아보았다. MBLRPM을 기반으로 적용된 지수 분포, Gamma 분포, 그리고 Weibull 분포 세 가지 분포형에 따른 매개변수들의 영향을 알아보고, 일 강수량을 생성하였다.

감천 유역에 적용하여 본 결과, 분포형에 따른 모형은 관측된 강수 데이터의 통계학적 특성을 반영하여 모의 된 강수량을 보여주었다. 지역별로 비교하였을 때, 추풍령 지역과 구미 지역은 Weibull 분포형이 적합한 결과를 보였지만, 거창 지역은 지수 분포형이 가장 적합한 결과를 보였다. 계절별로 비교하였을 땐, 지역에 따라 계절별로 적합한 분포형이 상이함을 알 수 있다. 기존 연구에서 BLRPM은 Weibull, Gamma 분포형이 적합했지만, 감천 유역에서 MBLRPM의 적용은 각 지역의 특정 기후 조건과 강우 패턴에 맞게 매개변수를 조정하는 것이 필요하다. 이에 따라, MBLRPM을 활용한 강수 모의에 있어서, 지역별 강우의 특성을 고려하여 적절한 분포형을 선택하는 것이 필수적일 것이라고 판단된다. 또한, MBLRPM을 활용한 강수 모의는 극치 모의에 있어서 불확실성을 고려해야 함을 알 수 있다. 향후 연구에서는 강수 모의의 정확성을 향상하기 위해, 각 지역의 기후 변화와 강수 패턴을 파악하여, 모형에 반영하는 것이 필요할 것으로 사료 된다. 지역별 기후 변화 패턴을 고려한 강수 모의는 기후 변화에 따른 장기적인 대응 전략 수립에 중요한 기초 자료를 제공할 수 있다.