1. 서 론

지하수가 대수층에서 자연적·인위적 교란에 대한 영향 및 회복 과정을 정량화하는 것은 지속가능한 지하수 관리의 핵심 과제이다. 대수층은 계절적 함양, 양수, 기후 변동성 등 다양한 요인에 의해 동적으로 반응하며, 이러한 교란으로부터 회복하는 데 소요되는 시간은 복원력 평가와 물관리 전략 수립에 필수적이다.

지하수 유동 해석에서 대수층의 수리학적 특성을 규명하기 위해 가장 전통적으로 활용되어 온 방법 중 하나는 양수시험(pumping test)이며, 특히 Theis method가 널리 적용되어 왔다. ^Theis(1952)가 제안한 해석법은 일정한 양수율 조건에서 관측정 수위 강하를 시간에 따라 분석하여 투수계수와 저류계수와 같은 주요 매개변수를 추정할 수 있게 하였다. 한편 국내 연구에서 ^{Park et al.(2016)}은 대수층의 수리 특성과 하천과 관정 간 거리로 결정되는 하천고갈인자(SDF)를 활용하여 하천변 지하수위 회복 시간을 정량적으로 산정하였다. 전통적으로 사용되어 온 대수층 반응시간(aquifer response time)은 새로운 정상상태 또는 준정상상태에 도달하는 데 걸리는 시간을 의미하나, 최종 수위의 일정 비율(예: 95 %)에 도달하는 임의적 기준에 의존하고 매개변수 변화에 민감하여 물리적 근거가 부족하다는 한계가 있다^{(Simpson et al., 2013)}.

이러한 한계를 보완하기 위해 제안된 시스템의 특징적 시간 척도 중 하나로 평균작용시간(mean action time, MAT)이 있다. MAT는 대수층의 시간적 반응 특성을 정량화하는 통계적 척도로, 전이 과정에서 특정 지점이 실질적으로 정상상태에 도달하는 시점을 나타낸다. 이는 시스템 반응함수의 1차 시간 모멘트를 이용해 교란 효과가 평균적으로 발현되는 시점을 확률적으로 정의하며, 정상상태로의 수렴하는 과정에서의 전이 곡선의 시간 중심 (temporal centroid)를 의미한다^{(McNabb and Wake, 1991; Jazaei et al., 2014; Carr and Simpson, 2018)}.

MAT는 지배적인 과도 지하수 유동 방정식을 직접 해석하지 않고도 산출이 가능하며, 그 수학적 표현을 통해 서로 다른 양의 함양을 부여하거나 제거하는 등 다양한 전이 과정의 시간척도가 지하수 유동 모형의 매개변수에 어떻게 의존하는지를 설명한다. 대수층 모델 실내실험^{(Simpson et al., 2013; Jazaei et al., 2013)}에서는 각 위치에서의 MAT를 통계적 기법과 해석적 기법을 통해 산정하였다. ^{Simpson et al.(2013)}은 지하수 실내 실험에서 경계조건 교란으로 유도된 지하수위 전이과정이 정상상태 근사에 도달하는 데 소요되는 시간을 산정하였다. 이 때 수학적으로는 점근적 한계(asymptotic limit)로 인해 무한대에 해당하지만, MAT 개념을 활용함으로써 이를 유한하고 객관적으로 제시할 수 있음을 밝혔다. 한편, ^{Jazaei et al.(2013)}은 실내 수조 실험을 통해 양 끝단에 일정 수두 경계가 유지되면, 시스템이 시간에 따라 점진적으로 수두 분포를 조정함을 실증하였다. 이때 MAT는 영역 내 각 지점이 정상상태에 도달하는 데 필요한 평균 시간을 정량적으로 제공하며, 단일 시간 척도에 의존하지 않고 공간적으로 분포된 시스템 반응성을 반영한다. 이러한 틀 속에서 MAT는 다양한 시나리오에서 유용한 통찰을 제공하며, 지하수-지표수 경계 부근의 시간 의존적 경계조건을 다루는 연구로 확장되기도 하였다^{(Simpson et al., 2013; Jazaei et al., 2013)}. MAT는 이후 다양한 경계조건 및 공간적 체계로 확장되었으며, 고차 모멘트를 활용한 장주기 반응 추정^{(Carr and Simpson, 2018)} 결과 1차 및 2차 모먼트로 충분히 대수층의 시간 특성을 표현할 수 있는 것으로 판단하였다.

지하수가 교란된 후 정상 상태로 회복되는 과정은 여러 형태의 동역학적 반응으로 나타날 수 있다. 예를 들어, 취수 후 회복 곡선, 인공 함양에 따른 새로운 지하수위 도달, 하천변 유도 함양에 따른 지하수위 회복 등이 이에 해당한다. 그러나 수일에서 수년에 걸쳐 획득한 현장 관측 자료에서는 정상 상태 회복 곡선이 이상적인 연속성을 갖지 않을 수 있다. 이러한 한계를 극복하기 위해 본 연구는 ^{Chang and Clement(2012)}이 제공한 실내 해수침투 동역학 실험 자료를 활용하여 MAT 추정 방식을 제시하고, 이를 통해 MAT가 대수층 시스템의 동적 거동을 평가하는 성능 지표로서 실질적으로 활용될 수 있는 가능성을 확인하였다. 해당 자료를 활용한 이유는, 제공된 해수침투 관측 곡선은 다양한 경계 조건을 적용한 실험 및 수치 모의 결과와 높은 일치성을 보이며, 동시에 수학적 지하수위 도달 시간 지표를 제공하기 때문이다. 이를 기반으로 본 연구에서 수행한 MAT 적용 분석은 해안 지역뿐만 아니라 내륙 담수 대수층을 포함한 다양한 대수층에 적용 가능한 범용적 산정 방식을 제안하였다.

2. 연구방법

2.2 실험 데이터

본 연구에서는 ^{Chang and Clement (2012)}의 두 가지 실험 데이터셋을 활용하였다. 해당 연구는 서로 다른 경계 조건을 갖는 해안대수층을 모사하는 실내 실험을 수행하였다. Fig. 1은 해안 대수층의 거동을 재현하기 위해 적용된 두 가지 경계 조건의 실험 구성을 보여준다. Fig. 1(a)는 지역 유동 대수층(Regional-flux Aquifer, RFA)으로 명명되며 좌측 해안 경계를 염수 저장조와 연결하여 일정 수두 및 일정 염도 조건(Dirichlet)을 부여하고, 우측 내륙 경계에는 담수 펌프를 이용한 지정 유량 조건(Neumann)을 적용하여 내륙에서 해안으로의 지속적인 유동을 모사하였다. 반면, 면적 함양 대수층(Areal-recharge Flux Aquifer, AFA) 실험(Fig. 1b)에서는 해안 경계를 동일하게 일정 수두 조건으로 두고, 우측 내륙 경계를 무흐름 조건으로 처리한 뒤, 상부 경계에 다채널 정량펌프를 연결하여 균일한 함양량을 수직으로 공급함으로써 지표 함양을 통한 담수 공급을 재현하였다. 이러한 구성 차이는 해수침투 전진 및 후퇴 거동에 서로 다른 영향을 미치며, 전자의 경우 내륙의 지하수 유동이 우세한 광역 유동계 대수층 환경을, 후자의 경우 강우에 의존하는 섬과 같이 광역 함양이 적용된 환경을 각각 모사한다. 두 실험 모두 동일한 수조(50.5 cm × 28 cm × 2.2 cm)에서 수행되었는데 비교적 폭이 좁은 수조를 사용하여 비피압 대수층 내 단면 흐름을 나타내는 2차원 체계를 모사하였다.

두 실험 모두에서 유입 유량을 정밀하게 제어하여 초기 정상상태와 유량 감소 후 재배치된 담염수 경계가 유사하게 형성되도록 하였다. 이후 경계가 재배치되어 새로운 정상상태에 도달하면, 유입 유량을 다시 초기 조건으로 조정하여 담염수 경계가 후퇴하는 과정을 유도하였다. ^{Chang and Clement(2012)}의 연구에 따르면 유량으로 대표되는 경계 조건이 교란될 경우 해수침투 전진 과정보다 후퇴 과정에서 상대적으로 짧은 시간이 소요된다. 또한 이 과정을 지수적인 감쇠함수로 수학적으로 모사한 결과, 전진과 후퇴에 대응하는 시간 척도가 서로 다름을 확인할 수 있었다. 이러한 현상은 실험 관찰뿐만 아니라 밀도 의존적 지하수 유동 수치모델 SEAWAT ^{(Guo and Langevin, 2002)}의 모의 결과를 통해서도 검증되었다. 본 연구에 사용된 실험 매개변수는 ^{Chang and Clement(2012)}에 상세히 기술되어 있다.

Fig. 1. Schematic Diagrams Showing (a) the Regional-Flux and (b) the Areal-Recharge Flux Experiments Related to Saltwater Intrusion ^{(Chang and Clement, 2012)}

3. 연구결과

해수침투의 주요 지표 중 하나인 담염수 경계면은 일반적으로 염분 농도가 50 %에 해당하는 등염선(isocline)을 기준으로 정의된다. 또한, 염분의 분산 효과로 형성되는 담염수 혼합대에서는 10 % 및 90 % 등염선이 보조적인 해수침투 지표로 활용될 수 있으나, 일반적인 실험실 규모의 수조에서는 담염수 농도 구배가 좁은 영역에서 매우 가파르기 떄문에 보조 등염선을 명확히 구분하기 어렵다. 해수침투의 정량적 범위는 담염수 경계면이 대수층 바닥 또는 기준 깊이와 만나는 지점을 기준으로, 해안선으로부터 내륙 방향으로 연장한 수평 거리로 정의된다. 본 연구에서는 ^{Chang and Clement(2012)} 연구에서의 실험 수조에서 관측된 담염수 경계면의 전진 및 후퇴 조건 하의 해수침투 전이 데이터 세트를 사용한다. 이 데이터를 기초로 해수침투 지표인 침투 길이 XT(t)의 시계열을 도출하고, 이를 기반으로 전이 반응의 시간 척도를 MAT로 정량화하였다.

Fig. 2는 지하수 유동 경계 조건 변화에 따라 해수침투가 시간 경과에 따라 전진하거나 후퇴하며 새로운 정상 상태로 이행하는 특성을 실내 실험으로 시각화한 것이다. 붉은색 영역이 염도 35 kg/m³의 해수를 나타낸다. 상단의 Transient advancing wedge는 초기(0 min, SS1)에 형성된 담염수 경계면이 점차 담수 영역으로 전진하며 해수침투가 확대되는 과정을 보여주며, 약 90분(SS2) 후에는 새로운 정상 상태에 도달하여 안정된 형태를 유지하는 과정을 나타낸다. 반면 하단의 Transient receding wedge는 초기(0 min, SS2)에 깊숙이 발달한 담염수 경계면이 시간 경과에 따라 점차 후퇴하여 약 60분(SS3) 후에는 후퇴한 경계면이 새로운 정상 상태에 도달하며 짧고 얕은 침투 형태로 안정되는 과정을 보여준다. 여기서 SS1, SS2, SS3는 시각적 관찰을 통해 판별된 각각 첫 번째, 두 번째, 세 번째 정상 상태를 의미한다. 본 그림은 해수침투 실험에서 설계된 담염수 경계면의 시각적 이동 과정을 보여주기 위한 것으로, 유사한 경계면 이동을 가진 AFA system의 전이 과정의 사진은 본 연구에서 생략하였다.

Table 1은 해수침투의 전진 및 후퇴 과정에서 나타나는 대수층의 시간적 응답 특성을 파악하기 위해, 실험에 사용된 각 경계의 초기 상태, 정상 상태, 전이 시간 및 선행연구에서 제시된 수학적 감쇠곡선의 특성시간상수(τ)를 요약한 것이다. 이 때 ^{Chang and Clement(2012)}는 AFA에 대해서는 특성시간상수를 산출하지 않았다.

RFA 조건에서 경계면이 전진할 경우, 초기 경계면은 18 cm에서 정상 상태 37 cm로 이동하는데 약 90분이 소요되었다. 이 때 ^{Chang and Clement(2012)}가 계산한 특성 시간(τ)은 15분이며, 전체 이동거리의 99 %에 해당하는 대수층 응답 시간(99 %)은 약 80분으로 나타났다. 반면 후퇴 과정에서는 경계면이 수조 바닥에서 37 cm에서 18 cm로 이동하며 약 60분이 소요되었고, 특성 시간(τ)은 7.6분, 응답 시간은 50분으로 전진 과정보다 빠른 안정화됨을 확인할 수 있었다.

Fig. 2. Transient Variations in the Salt-Wedge Patterns due to Changes in the RFA System at the Right Boundary Freshwater Forcing (Modified from ^{Chang and Clement, 2012)}

AFA 조건에서도 유사한 경향이 관찰되었다. 전진 시에는 경계면이 18.7 cm에서 37.5 cm로 이동하는 데 약 90분이 소요되었다고 판단했으며 99 % 응답 시간은 대략 80~90분으로 추정되었다. 반대로 후퇴 시에는 37.5 cm에서 18.7 cm로 이동하는 데 약 60분이 소요되었으며 응답 시간 50분으로 나타났다.

이와 같이 두 실험 조건 모두에서 해수침투의 후퇴 과정이 전진에 비해 더 짧은 시간 내에 정상 상태에 도달하는 비대칭적인 특성을 보임을 확인할 수 있었다.

대수층 응답을 평가하기 위하여 해수침투의 전진 및 후퇴 실험 결과와 시각 자료로부터 10분 간격의 XT(t) 데이터를 사용하였다. 이 데이터를 기반으로 함수 f(t)를 중앙차분법을 적용하여 추정하였으며(Eq. (5)). 이를 바탕으로 시간 변화율을 계산할 수 있었다. 이후 Eqs. (4)과 (6)을 통해 MAT와 VAT를 산출하였다. 최종 계산 결과는 Table 2에 정리하였다. 표에는 각 실험 조건별로 전진 및 후퇴 과정에서 계산된, MAT, $\sqrt{VAT}$ 그리고 $MAT+\sqrt{VAT}$ 값이 포함되어 있다.

Fig. 3은 XT(t), f (t), tf (t)의 시간 변화를 기반으로 값을 보여준다. XT(t)의 전이 궤적은 초기 위치에서 정상상태에 도달하기까지의 변화를 나타낸다. 이 전이 궤적으로 도출한 f (t) 및 tf (t)는 MAT와 VAT를 산정에 활용된다. 그림에서 검은색 점은 실험 결과와 실험 결과를 기반으로 게산된 값을 나타내며, 푸른색 선은 실험이 도달한 정상상태 $XT_{\infty}$를 표시한다. 초록색, 노란색, 붉은색 선은 각각 MAT, $MAT+\sqrt{VAT}$, 그리고 99 % 응답시간(RT)를 나타낸다.

Fig. 4(a)와 (b)는 수리학적 반응에 따른 침투 길이 XT(t)의 변화를 나타내며 이를 통해 시스템의 반응 시간을 MAT 또는 $MAT+\sqrt{VAT}$ 로 정의할 수 있다. Fig. 4(c)와 (d)는 시간에 따른 확률밀도함수 f (t)를 보여준다. 초기 구간에서는 급격한 감소를 보이나 이후 완만하게 줄어든 형태를 나타내어 시스템의 지연 반응을 반영한다. Fig. 4(e)와 4(f)는 시간 가중 확률 분포 tf (t)를 나타내며 특정 시간에서의 지배적인 반응을 강조한다.

해수침투 전진 조건에서는 비교적 긴 시간에 걸쳐 전이 반응이 지속되어 MAT와 RT 차이가 크게 나타난다. 반면 후퇴 조건에서는 초기 단계의 반응이 상대적으로 빠르게 수렴하여 MAT값이 짧게 산정된다. 녹색 점선은 MAT, 황색 점선은 $MAT+\sqrt{VAT}$, 적색점선은 99 % 반응시간을 나타낸다. 전진 조건에서는 MAT와 $MAT+\sqrt{VAT}$ 사이의 간격이 크게 나타나는 반면, 후퇴 곡선에서는 초기값에서 빠르게 정상상태에 도달하여 MAT가 조기에 위치한다. 이는 후퇴 시 시스템에서 상대적으로 빠르게 정상상태에 근접함을 의미한다.

Fig. 3. Procedure for Calculating MAT Using the Temporal Evolution of XT(t), f(t), and tf(t) for RFA System, Where Black Dots Indicate Experimental and Calculated Values, the Blue Line Represents the Steady State, and Green, Yellow, and Red Lines Denote MAT, VAT, and 99 % Response Time (99 % RT), Respectively

Fig. 4. Procedure for Calculating MAT Using the Temporal Evolution of XT(t), f(t), and tf(t) for AFA System, Where Black Dots Indicate Experimental and Calculated Values, the Blue Line Represents the Steady State, and Green, Yellow, and Red Lines Denote MAT, VAT, and 99 % Response Time (99 % RT), Respectively

전이 과정에서 추정한 f (t)의 결과를 Fig. 3(c)와 (d)에 제시하였다. 두 조건 모두 t = 0 부근에서 높은 값을 나타내며 이후 점진적으로 감소하는 경향을 보인다. 전진 조건에서는 f(t) 분포가 상대적으로 늦은 시간대까지 확장되는 반면, 후퇴 조건에서는 함수값이 초기 단계에 집중되어 빠르게 0에 근접한다. 특히 Fig. 3(d)의 후퇴 조건에서는 t = 60 min에서 f (t) 함수가 0에 도달함을 확인할 수 있다. 두 조건에서 f (t)는 시스템의 시간에 따른 변화율을 중심 차분기법을 이용하여 계산하였다. 다만 t = 0 및 마지막 시간 단계에서는 중앙차분을 적용할 수 없어 인접한 값을 이용하여 기울기를 산정하였으므로, 일부 경향성에서 차이가 나타날 수 있다. 그러나 t = 0에서의 f (t) 값은 이후 tf (t) 계산 시 0으로 귀결되므로, 차분 방식에 따른 초기값의 차이가 MAT 계산에 미치는 영향은 미미하다.

또한 원칙적으로 실험 관측은 시스템이 정상상태에 도달할 때까지 수행되어야 하나, 실제로는 시각적으로 시스템이 정상상태인 것으로 판단되어 종료하였다. 전진 조건에서는 관측 기간이 더 필요했음을 알 수 있으며, 후퇴 조건은 충분히 관측이 완료되었음을 본 그래프를 통해 확인할 수 있다. 그러나 본 실험은 애초에 MAT 계산을 위해 설계된 것이 아니므로 해당 데이터를 활용한 분석의 타당성을 논하기보다는 본 연구에서 제시된 방법론을 설명하는 사례로서 제한적으로 사용하였다.

마지막으로, 하단 그림에 나타난 tf (t) 곡선은 방법론에서 설명한 바와 같이 Eq. (4)의 적분 계산을 기반으로 사다리꼴 공식(trapezoidal rule)을 적용하였고 그 결과를 MAT 계산을 위한 면적 기반 분석을 시각적으로 보여준다. 전진 조건에서는 정점이 비교적 늦게 나타나고 곡선의 면적 폭이 넓다. 반대로 후퇴 조건에서는 정점이 조기에 발생하고 폭이 좁아서 시스템의 빠른 반응과 작은 불확실성 범위를 의미한다.

Fig. 4는 AFA 조건에서 XT(t), f (t), tf (t)를 통해 MAT의 계산 과정과 물리적 의미를 보여준다. RFA과 마찬가지로 전진 조건에서 침투 길이가 점진적으로 증가하며 평형에 도달하며, 후퇴 조건에서는 초기값에서 급격히 감소하여 MAT가 빠르게 나타나고 VAT가 작아 전이가 신속하게 진행된다. 육안으로는 두 시스템의 정상 상태 도달 시간이 거의 유사하게 보였으나 f (t) 그래프에서는 최댓값이 상대적으로 낮고 시간에 따라 넓게 분포하여 RFA와는 다른 양상을 나타낸다. 또한 최종 시간에서도 f (t)가 0에 도달하지 않아 정상 상태 수렴이 완료되지 않은 모습을 확인할 수 있다. tf (t) 곡선에서는 전진 조건에서 약 70분까지 값이 유사하게 유지되어, 초기 구간에 시간 집중이 나타났던 RFA과는 대비되는 특성을 보였다.

4. 결 론

MAT는 시스템이 정상상태에 도달하기까지의 평균 지연 시간을 직관적이면서도 엄밀하게 나타내는 지표이다. MAT는 전이 유동 방정식을 직접 풀지 않고도 관측 자료로부터 계산할 수 있으며, 수치모델이나 해석적 근사식에 의존하지 않고 응답 곡선에서 직접 산정된다는 점에서 큰 장점을 가진다. 이를 통해 매질 비균질성, 비선형 거동, 경계조건 불확실성을 자연스럽게 반영할 수 있으며, 시스템의 응답 시간을 특성치로 제공함으로써 대수층의 성능과 동역학적 안정성을 평가하는 새로운 지표로 활용할 수 있다. 다만 실제 시계열 자료를 이용한 적용 사례는 아직 제한적이다. 그럼에도 불구하고, 현장 자료에서 도출하는 MAT는 시스템의 동적 특성을 충실히 반영하며 예측 신뢰성을 높이고 지표로서의 활용 가능성을 강화할 수 있다.

본 연구는 해안 대수층에서 발생하는 해수침투의 전이 반응 시간 시간을 대표할 수 있는 수학적 틀을 제시하고, 실험실 규모의 두 가지 해수침투 모사 자료를 통해 이를 검증하였다. 해석 결과, 해안 대수층에서는 담수 회복이나 해수 침투 진행에 소요되는 시간 규모를 추정하는 지표로 활용될 수 있음을 확인하였다.

나아가 MAT의 의의는 보다 넓게 다음과 같이 정리될 수 있다. 첫째, 대수층이 외부 자극에 대해 반응하는 시간을 정량적으로 특징지을 수 있다. 둘째, 동일 대수층 내 서로 다른 위치 혹은 서로 다른 대수층 간의 MAT 비교를 통해 대수층 특성을 정량화적으로 비교·평가 할 수 있다. 셋째, MAT는 평균적인 도달 시간이나 안정화 시간을 제시하므로, 오염 확산 평가나 인프라 운영 관리와 관련한 의사결정에 유용하게 활용될 수 있다.

본 연구는 대수층의 응답 속도를 평가하는 지표로 MAT를 제시하였다. 다만 단독으로 사용할 경우 정량적 해석임에도 불구하고 대수층의 특성을 충분히 설명하는데 한계가 있으므로, 투수계수(K), 저류계수(S)와 같은 전통적 수리학적 매개변수나 추가적인 통계적 척도와 함께 활용할 때 그 가치가 극대화된다. 또한 MAT는 전이 과정의 평균적인 특성을 제시할 뿐, 전이의 최종 완결 시점을 직접 반영하지 않는다는 점도 고려해야 한다. 이러한 한계에도 불구하고 본 연구는 MAT를 이용한 대수층 동적 반응 평가의 가능성을 제시하였다. 향후 연구에서는 다양한 대수층 조건과 현장 관측 자료를 포함한 적용 범위를 확대하고, MAT와 기존 수리학적 지표의 통합적으로 활용함으로써 인공 함양 등의 실증 부지 관리 및 수자원 관리 전략에 실질적으로 기여할 수 있을 것으로 판단된다. 이와 함께 현장 관측 자료를 활용한 MAT 추정 시, 이상적이지 않은 현장 데이터의 전처리(pre-processing) 기법 개발이 필요하며, 이를 통해 보다 신뢰도 높은 평가가 가능할 것으로 기대된다.