2.1 종혼합계수

자연하천에 오염물질 혼합 해석을 위해 2차원 이송-분산 방정식을 적용하는 경우 종혼합계수와 종혼합계수를 입력하여야 하는데, 자연하천에서의 오염물질의 종,횡방향 혼합은 전술한 바와 같이 전단류에 의한 분산 효과와 난류운동에 의한 난류 혼합, 그리고 하천의 불규칙성에 기인한 혼합 효과 등 모두 포함하고 있다. 따라서 Eq. (1)의 2차원 종혼합계수, $D_{L}$은 다음 식과 같이 표현된다.

여기서 $D_{LS}$는 전단흐름에서 종방향 유속의 연직방향 편차에 의한 종분산계수, $\epsilon_{x}$는 종방향 난류확산계수, $D_{LI}$는 하천의 불규칙성에 기인한 추가적인 혼합을 고려한 혼합계수이다. $\epsilon_{x}$와 $D_{LI}$는 하천에서 발생하는 난류와 불규칙한 흐름의 변동성에 의한 확산 효과를 대표하는 것으로서 둘 간의 구분이 쉽지 않기 때문에 하나의 계수로 나타내는 것이 일반적이다. 그런데 $D_{LI}$는 하천 흐름에 영향을 미치는 다양한 불규칙성(웅덩이-여울 구조, 식생, 수제 등)에 의한 흐름의 변동성에 의해 발생하는 혼합 효과를 나타내는 계수인데, 이러한 흐름 변동성이 흐름방향 유속의 연직방향 편차에 의한 전단류보다는 크기가 작지만 혼합효과는 총체적인 합으로 표현하기 때문에 $D_{LI}$가 $D_{LS}$보다 크게 나타나는 경우도 발생한다. 특히 하폭이 수심보다 큰 하천의 경우 하천 바닥와 양측 경계면에서 발생하는 난류 성분에 의해 $D_{LI}$가 $D_{LS}$보다 크게 나타난다고 보고되고 있다^{(Shin et al., 2020)}.

종분산계수 $D_{LS}$의 이론적인 산정식은 다음과 같이 주어진다^{(Fischer et al., 1979)}.

여기서 $h$는 수심, $u^{'}$는 종방향 유속의 연직방향 편차($u-\overline{u}$)를 의미하며, $\epsilon_{z}$는 연직방향 난류확산계수이다. Eq. (4)은 Taylor의 분산 이론^{(1953, 1954)}을 기반으로 유도한 식으로 전단흐름에서 유속의 연직분포식이나 실측자료가 있으면 이를 적용하여 종분산계수를 산정할 수 있다. 전 절에서 서술한 바와 같이 ^Elder(1959)는 개수로에서 종방향 유속의 연직분포가 대수함수 형태임을 이용하여 종분산계수를 이론적으로 유도하였다. 그는 Eq. (4)에 대수함수 유속분포식을 대입하여 종분산계수를 다음과 같이 유도하였다.

상기 식은 이론적인 배경을 가지고 있음에도 불구하고 무한히 넓은 경사 수로에서의 난류 흐름의 연직방향 유속분포가 대수식을 따른다는 가정하에 유도한 결과이므로, 이러한 가정이 성립되지 않는 자연하천의 경우 적용성이 떨어지는 것으로 보고되고 있다^{(Seo et al., 2016)}.

^Elder(1959)의 이론적 접근 이후 종분산계수에 대한 연구는 거의 수행되지 않았는데, 그 이유는 종방향 유속의 연직분포에 대한 연구가 많이 이루어지지 않았기 때문이다. 종방향 유속의 연직분포식으로서 ^{Rozovskii(1957)}, ^{Fischer et al.(1979)}은 대수식을 제시하였고, ^{Odgaard(1986)}는 멱함수식(power law)을 제안한 바 있으나, 이들 식이 모두 ^Elder(1959)가 사용한 대수식과 거의 유사하므로 Eq. (4)에 대입하여 종분산계수를 유도하는 경우 거의 같은 결과를 얻게 된다. 이에 따라서 이론적인 유속분포식을 이용하는 것보다는 실제 하천과 수로에서 측정한 유속 자료를 이용하여 종분산계수를 유도하는 연구가 활발하게 수행되고 있다. ^{Lee and Seo(2013)}, ^{Shin et al.(2020)}은 첨단 계측 장비를 이용하여 개수로에서 3차원적인 유속을 측정하여 종분산계수를 유도하는 연구를 수행하였다. ^{Lee and Seo(2013)}는 실험실 개수로에서 초음파유속계(Acoustic Doppler Velocimeter)를 이용하여 측정한 유속자료를 Eq. (4)에 대입하여 종분산계수를 산정하였는데, 그들이 제안한 범위는 다음과 같으며 이는 ^Elder(1959)가 이론적으로 유도한 값과 유사한 것으로 나타났다.

여기서 $D_{LS}$는 개수로 측정 단면의 평균값이다.

^{Shin et al.(2020)}은 한국건설기술연구원 하천실험센터의 실규모 사행수로에서 수행한 추적자실험에서 초음파유속측심계 (Acoustic Doppler Current Profiler)를 이용하여 수로 단면 전체에서의 유속분포를 측정하고 이 유속 자료를 Eq. (4)에 대입하여 Fig. 2와 같이 수로 단면 별 종분산계수 분포도를 제시하였다. 이 그림에서 산정된 종분산계수가 수로의 횡방향으로 역동적으로 변동하고 있으며, 만곡부(bend apex)에서의 종분산계수가 교차부(cross-over)에서의 값보다 매우 높게 나타남을 알 수 있다. 또한 각 단면에서의 종분산계수 최댓값은 ^Elder(1959)가 이론적으로 유도한 값의 2배 이상으로 나타나고 있음을 알 수 있다. 이로써 ^Elder(1959)가 이론식을 유도할 때 도입한 가정이 불규칙한 수로나 자연하천의 경우에는 적합하지 않음을 알 수 있다.

^{Shin et al.(2020)}은 전술한 바와 같이 실규모 사행수로에서 취득한 유속자료로부터 산정한 종혼합계수에 추가하여 추적자실험에서 취득한 농도자료에 추적법을 적용하여 종혼합계수를 산정하였는데, $\dfrac{D_{L}}{Hu^{*}}$값의 범위가 25.1~39.2인 것으로 보고하였다(Table 1참조). 이 값은 유속 자료로부터 산정한 평균값 $\dfrac{D_{LS}}{Hu^{*}}=4.1\sim 6.5$ 보다 4~10배 정도 크게 나타나는 데, 이러한 사실로부터 Elder가 제시한 이론식과 전단흐름에서 측정한 유속자료에 의한 종분산계수 산정법은 실제 자연하천의 종혼합계수 산정에 적합하지 않다는 것을 알 수 있다.

Fig. 2. Distribution of Longitudinal Dispersion Coefficient Based on Velocity Data Measured in a Meandering Channel ^{(Shin et al., 2020)}

2.2 횡방향 혼합계수

자연하천에서의 오염물질의 횡방향 혼합은 종방향 혼합과 유사하게 전단류에 의한 분산 효과와 난류운동에 의한 난류 혼합, 그리고 하천의 불규칙성에 기인한 혼합 효과 등에 의해 발생한다. 따라서 Eq. (1)의 횡혼합계수 $D_{T}$는 다음 식으로 표현된다.

여기서 $\epsilon_{y}$는 횡방향 난류확산계수, $D_{TI}$는 하천의 사행과 불규칙성에 기인한 혼합을 고려한 계수이고, $D_{TS}$는 횡방향 유속의 연직방향 편차에 의한 횡분산계수로서 다음의 이론식을 이용하여 계산할 수 있다^{(Fischer et al., 1979)}.

여기서 $v^{'}$는 횡방향 유속의 연직방향 편차로서 $v^{'}=v-\overline{v}$와 같다.

Eq. (8)에 횡방향 유속의 연직분포식을 대입하여 횡분산계수에 대한 이론식을 유도할 수 있는데, 횡방향 유속의 연직분포식으로는 ^{Rozovskii(1957)}, ^{Kikkawa et al.(1976)}, ^{Odgaard (1986)} 등이 운동방정식을 적분하여 유도한 식이 사용되어 왔다. 횡분산계수에 대한 이론식 유도시 횡방향 유속의 연직분포식이 중요한 역할을 하는데, ^{Seo and Jung(2010)}은 상기의 횡방향 유속의 연직분포식을 실험자료와 비교하였다(Fig. 3). 그들은 대수형 분포식인 Rozovskii 식은 흐름방향으로의 이차류의 생성과 소멸 현상을 지수식 형태로 나타내고 있으나 식의 형태가 복잡하여 이 식을 Eq. (8)에 대입하여 적분을 수행하기는 어려운 단점이 있다고 지적하였다. Kikkawa 등이 제안한 식은 사행하천에서 발생하는 이차류가 보여 주는 연직분포를 잘 나타내고 있으나 횡방향 유속값을 과대 산정하는 경향을 가지고 있다고 보고하였고, Odgaard가 제안한 식은 수표면에서의 유속값의 흐름 방향 변화는 잘 나타내고 있으나, 연직방향의 변화는 직선식으로 간략하게 표현하는 단점이 있다고 지적하였다. Fig. 3에서 ^Jung(2012)이 차원해석을 통하여 제안한 경험적인 유속분포식은 하천 바닥에서의 무할조건(no slip)을 만족하고 있으나, 수표면 근처에서 유속 특성을 잘 나타내지 못하고 있음을 알 수 있다^{(Park and Seo, 2018)}.

Fig. 3. Comparison of Theoretical Equations for Vertical Distribution of Transverse Velocity ^{(Park and Seo, 2018)}

유속의 연직분포식을 Eq. (8)에 대입하여 횡분산계수를 유도한 연구는 ^{Fischer(1969)}에 의해 처음으로 수행되었다. 그는 유속의 연직분포식으로 ^{Rozovskii(1957)}식을 사행수로에서 완전히 발달한 이차류에 대해 간략화한 다음과 같은 식을 Eq. (8)에 대입하였다.

여기서 $\kappa$는 von Karman 상수, $R_{c}$는 하천의 곡률반경, $z^{'}=\dfrac{z}{h}$이고, $g$는 중력가속도, $C_{h}$는 Chezy계수이다. Fischer가 유도한 횡분산계수 식은 다음과 같다.

여기서 $I_{1}$는 적분상수이다. Fischer는 실험실 수로에서 측정한 자료와 비교하여 $\dfrac{I}{\kappa^{5}}$ 값을 25로 제시하였다. ^{Yotsukura and Sayre (1976)}는 Eq. (10)을 하천에서 취득한 자료와 맞추어 본 결과 우변의 두 번째 무차원항에서 수심보다는 하폭이 더 적합한 것으로 나타난다고 보고하고 다음과 같은 수정된 식을 제안하였다.

여기서 $W$는 하폭이다. Fig. 3에 도시한 유속분포식 중에서 유속의 연직 분포를 직선형태로 나타낸 식은 ^{Odgaard(1987)}식인데 이 식은 다음과 같다.

여기서 $v_{s}$는 수표면에서의 횡방향 유속이다. ^{Baek and Seo(2011)}은 ^{Odgaard(1987)}의 식을 Eq. (8)에 대입하여 다음과 같이 횡분산계수 이론식을 유도하였다.

여기서 $v_{s}$는 횡방향 유속의 수표면에서의 값이다. 이 식은 비교적 간략한 형태로 이루어져 있으나, 하천의 사행 특성을 반영하지 못 하는 단점이 있다.

상술한 하천의 사행 특성을 포함하는 식의 개발을 위하여 ^{Boxall and Guymer(2003)}는 사행하천에서 이차류의 발달과 소멸을 고려한 ^{Rozovskii(1957)}식을 적용하여 다음과 같은 식을 유도하였다.

여기서 $U$는 단면평균 종방향 유속이고, $s$는 사행하천의 흐름 방향을 따라가는 좌표축이다. ^{Baek and Seo(2008)}도 이차류의 발달과 소멸을 고려한 ^{Kikkawa et al.(1976)}의 식을 적용하여 다음과 같은 횡분산계수 이론식을 유도하였다.

여기서 $L_{c}$는 사행하천의 파장(호의 길이)이다. $I$는 $I_{1}$과는 다른 적분상수로서 다음 식과 같이 주어진다.

Eq. (14)와 (15)는 모두 사행하천에서 이차류의 발달과 소멸을 고려하였기 때문에 횡분산계수가 만곡부에서는 최댓값을 갖고 교차부에서는 최솟값을 갖는 경향을 잘 표현하는 것으로 보고되고 있다^{(Shin et al., 2020)}.

상술한 이론식의 경우 무차원화된 횡분산계수가 모두 $\dfrac{U}{u^{*}},\: \dfrac{H}{R_{c}},\: \dfrac{W}{R_{c}}$의 무차원 인자를 포함하고 있음을 알 수 있다. 이러한 점을 고려하여 차원해석을 수행하면 무차원화된 횡혼합계수에 대한 다음과 같은 관계식을 유도할 수 있다.

윗 식을 실측 자료에 적용하여 다양한 경험식이 제시되었는데, ^Bansal(1971)은 하천의 종횡비($\dfrac{W}{H}$)만을 포함한 간단한 식을 다음과 같이 제안하였다.

^{Gharbi and Verretee(1988)}은 종혼합계수와 유량 $Q$를 포함하여 다음과 같이 제안하였다.

^{Deng et al.(2001)}은 다음과 같은 식을 제안하였다.

^{Jeon et al.(2007)}은 하천의 사행도($S_{n}$)를 포함하여 다음과 같은 식을 제안하였다.

^{Baek and Seo(2013)}는 ^{Odgaard(1987)}의 유속분포식을 이용하여 이론적으로 유도한 식을 실측자료에 보정하여 다음과 같은 준경험식을 제안하였다.

여기서 $P=\dfrac{U}{u^{*}}\dfrac{H}{R_{c}}$이다.

^{Baek and Seo(2017)}는 상술한 경험식들의 정확도를 비교하여 수리적 조건에 따른 활용 방안을 Fig. 4와 같이 제시하였다. 우선 이차류에 관한 실측 자료가 존재한다면 ^{Baek and Seo(2011)}가 제안한 Eq. (13)이 적합한 것으로 추천하였다. 하천의 사행도 특성을 알 수 있다면, $P$ 값에 따라 다음과 같이 제안하였다. $P$ 값이 0.04보다 작을 경우에는 ^{Yotsukura and Sayre(1976)}가 제안한 Eq. (11)을 사용하는 것이 오차를 줄일 수 있으며, ^{Baek and Seo(2013)}가 제시한 준경험식인 Eq. (22)는 $P$ 값과 관계없이 사용할 수 있다고 제안하였다. 하천의 사행도 특성 자료가 없는 경우라면 하천의 종횡비($\dfrac{W}{H}$)에 따라서 다음과 같이 제안하였다.

Fig. 4. Classification of Empirical Equations for Transverse Dispersion Coefficient ^{(Baek and Seo, 2017)}

$\dfrac{W}{H}$값이 50보다 작을 경우에는 ^Bansal(1971)에 의한 Eq. (18)과 ^{Deng et al.(2001)}이 제안한 Eq. (20)을 사용하는 것을 권장하였고, $\dfrac{W}{H}$값이 50보다 큰 경우에는 ^{Jeon et al.(2007)}에 의한 Eq. (21)을 추천하였다.

근년에 들어서는 기계학습방법을 이용하여 경험식을 유도한 사례가 많아지고 있는데, ^{Aghababaei et al.(2017)}은 유전 프로그래밍 기반 상징적 회귀법(genetic programming based symbolic regression)을 적용하여 다음과 같은 식을 제시하였다.

여기서 $F_{r}\left(=\dfrac{U}{\sqrt{g H}}\right)$는 프루드수이다. 그 들은 또한 다중 선형회귀법을 적용하여 유도한 경험식을 다음과 같이 제시하였다.

위의 두 식을 비교해 보면 유전 프로그래밍 기반 상징적 회귀법에 의한 식은 다중 선형회귀법에 비해 물리적 의미를 쉽게 파악하기 어려운 단점이 있다. ^{Huai et al.(2018)}도 유전 프로그래밍 기반 회귀법을 적용하여 다음과 같은 식을 유도하였다.

^{Baek and Lee(2023)}는 Eq. (22)를 간략한 형태로 제안한 후 회귀법을 적용하여 다음과 같은 식을 제시하였다.

3.1 종혼합계수 예측식 유도

상술한 바와 같이 종혼합계수는 전단류에 의한 분산뿐만 아니라 난류와 불규칙한 흐름의 변동성에 의한 혼합 효과($D_{LI}$)도 포함하여야 하므로 하천에서 추적자실험을 수행하여 취득한 농도자료를 이용하여 종혼합계수를 산정하여야 한다. 추적자실험에서 오염물질의 주입 지점으로부터 하류의 지점에서 실측한 농도자료로부터 직접 종분산계수를 산정하는 경우에는 오염물질의 주입 후 발생한 모든 혼합 기작($D_{LS},\: \epsilon_{x},\: D_{LI}$)을 포함하게 되므로 Eq. (6)에 나타낸 바와 같은 종혼합계수 $D_{L}$을 산정할 수 있다.

^{Seo et al.(2006a)}과 ^{Baek and Seo(2010)}은 2차원 종혼합계수($D_{L}$)와 2차원 횡혼합계수($D_{T}$)를 실측 농도 곡선로부터 계산할 수 있는 2차원 농도추적법을 개발하고, 이를 국내 주요하천에서 수행한 추적자 실험에서 취득한 농도곡선에 적용하여 종, 횡혼합계수를 산정하였는데, Table 1에 ^{Seo et al.(2006b)}과 ^{Seo et al. (2016)}이 국내 하천에서 취득한 농도자료로부터 산정한 종혼합계수를 수록하였다. 이 표에는 ^{Sun et al.(2013)}이 St. Clair River에서 취득한 자료와 ^{Shin et al.(2020)}이 실규모 사행수로에서 수행한 추적자실험에서 취득한 농도자료로부터 산정한 종혼합계수도 같이 수록하였다. ^{Shin et al.(2020)}이 실규모 사행수로에서 취득한 종혼합계수는 국내 하천에서 취득한 종혼합계수의 범위 안에 들고 있으나, 하폭이 국내 실험하천에 비해 10배 이상인 St. Clair River에서 취득한 종혼합계수는 매우 크게 나타나고 있음을 알 수 있다. 이에 따라서 Table 1에서 무차원화된 종혼합계수 값은 10~400의 넓은 범위를 갖고 있으며, 모든 경우에 Elder가 제안한 이론값인 5.93보다 매우 큰 것으로 나타났다. 종혼합계수가 이렇게 큰 이유는 하천에서 추적자실험을 수행하여 취득한 농도자료로부터 종혼합계수를 산정하였기 때문에 전단류에 의한 분산뿐만 아니라 하천에서 발생하는 대규모 와류와 불규칙한 흐름의 변동성에 의한 혼합 효과도 모두 포함하고 있기 때문인 것으로 설명된다.

Table 1에 제시된 수리인자와 종혼합계수 자료를 이용하여 종혼합계수 경험식을 개발하기 위하여 종혼합계수에 영향을 미치는 수리, 지형, 유체 특성인자들에 대한 차원해석을 수행하면 무차원화된 종혼합계수에 대한 다음과 같은 관계식을 유도할 수 있다.

여기서 $\dfrac{\rho UH}{\mu}$는 레이놀즈수이다. 하천의 흐름이 완전 난류흐름인 경우 레이놀즈수는 무시할 수 있다.

Table 1에 수록된 종혼합계수와 Eq. (27)에서 제시한 하천수리 및 지형 인자간의 상관관계를 분석하여 Fig. 5에 도시하였다. Fig. 5에서 종혼합계수가 하천의 종횡비($\dfrac{W}{H}$)와 하천마찰인자($\dfrac{U}{u^{*}}$)와 양의 상관관계를 가지고 있으나, 하천사행도($\dfrac{W}{R_{c}}$)와는 별다른 상관성을 보이지 않고 있음을 알 수 있다. 이 그림에서 하천 종횡비가 증가할수록 종혼합계수가 커지고 있는 이유는 하폭 대 수심비가 커질수록 수로 경계면에서 발생하는 마찰력과 난류가 커지고 이에 따라 종방향 혼합도 증가하기 때문인 것으로 설명된다.

상술한 바를 바탕으로 종혼합계수를 예측하는 경험식은 다음과 같이 제시할 수 있다.

Eq. (28)을 Table 1의 자료에 적용하여 비선형 다중회귀분석을 수행하면 다음 식을 유도할 수 있다.

Eq. (29)의 유도시 평균 절대 백분율 오차(MAPE)는 13.8 %로 우수하게 나타났다. Fig. 6은 이 식에 의한 예측값과 실측값을 비교한 것인데 두 값이 비교적 잘 일치하고 있음을 알 수 있다. 이 식의 유도에 쓰인 자료에서 하폭 대 수심 비($\dfrac{W}{H}$)가 10~130의 범위에 있기 때문에 이러한 제한 조건을 고려하여 활용해야 한다.

Fig. 5. Variation of Longitudinal Dispersion Coefficient with Hydraulic and Morphological Parameters of Rivers

Fig. 6. Comparison of Empirical Equation for DL with Observed Value

3.2 횡혼합계수 예측식 유도

횡혼합계수 예측식을 개발하기 위하여 15개의 기존 연구에서 수집한 수리 및 지형자료와 횡혼합계수를 Table 2에 수록하고 이 자료를 분석하였다. 실측 농도곡선에서 횡혼합계수를 계산하는 방법으로는 모멘트법, 농도추적법, 도해법 등이 사용되고 있는데, 이 표에 수록된 횡혼합계수 자료 중 국외하천 자료의 대부분은 모멘트법에 의해 계산된 값이나, ^{Seo et al.(2006b)}과 ^{Seo et al. (2016)}이 국내 하천에서 취득한 농도자료로부터 구한 횡혼합계수는 유관추적법(stream tube routing method)에 의해 산정된 값이다. 또한 이 표에서 ^{Jung et al.(2019)}이 낙동강에서 취득한 횡혼합계수는 금호강으로부터 유입되는 높은 전기전도도 분포를 합류부 하류에서 측정하여 계산한 값이며, ^{Pouchoulin et al.(2020)}이 Rhône River-Saône River 합류부에서 취득한 횡혼합계수도 실측 전기전도도 분포에 유관추적법을 적용하여 산정한 값이다. 하천 합류부의 경우, 지류가 유입함에 따라서 이차류가 발생하게 되는데 이에 따라서 합류점 하류에서 횡방향 혼합을 촉진하게 되어 횡혼합계수가 크게 나타나는 것을 알 수 있다^{(Kwon et al., 2023)}.

Table 2에 제시된 수리인자와 횡혼합계수 자료를 이용하여 횡혼합계수 경험식을 개발하기 위하여 횡혼합계수에 영향을 미치는 수리, 지형, 유체 특성인자들에 대한 차원해석을 수행하면 무차원화된 횡혼합계수에 대한 관계식을 Eq. (27)과 같이 유도할 수 있다. 이 경우에도 종혼합계수의 경우와 유사하게 하천의 흐름이 완전 난류흐름인 경우 레이놀즈수는 무시할 수 있다.

Table 2에 수록한 실측 자료를 분석하기 위하여 Fig. 7에 횡혼합계수와 수리 및 지형 인자의 관계를 도시하였다. 이 그림에서 대수형태로 나타낸 $\dfrac{D_{T}}{Hu^{*}}$가 $\dfrac{W}{R_{c}}$와 $\dfrac{U}{u^{*}}$간에는 선형 관계를 나타내고 있으나, $\dfrac{H}{R_{c}}$와 $\dfrac{W}{H}$와는 주목할 만한 상관관계를 가지지 않고 있음을 알 수 있다. 이는 전술한 바와 같이 횡혼합계수가 하천 바닥과 양안 경계에서 발생하는 마찰보다는 난류 변동성에 의한 마찰력과 하천 사행에 의한 이차류에 더 큰 영향을 받기 때문인 것으로 설명된다.

상술한 바를 바탕으로 횡혼합계수를 예측하는 경험식은 다음과 같이 제시할 수 있다.

무차원 수리·지형 인자 중에서 $\dfrac{H}{R_{c}}$는 ^{Fischer(1969)}식 등 여러 이론식에 포함되고 있으나, Fig. 7에 나타난 바와 같이 $\dfrac{W}{R_{c}}$보다 $\dfrac{D_{T}}{Hu^{*}}$와의 상관성이 떨어지므로 Eq. (30) 제안시 $\dfrac{W}{R_{c}}$를 선택하였다.

Fig. 7. Relationship between Transverse Dispersion Coefficient and Hydraulic and Morphological Parameters

Eq. (30)을 이용하여 Table 2의 자료에 비선형 다중회귀분석을 수행하면 다음 식을 유도할 수 있다.

Eq. (31) 유도에는 Table 2에 수록된 자료 중($R_{c}$ 값이 있는 44개 자료)에서 70 %인 30개 자료를 이용하였으며, 나머지 30 % 자료는 검증에 활용하였다. 유도와 검증에 활용된 자료 그룹의 통계적인 특성은 Table 3에 수록하였다.

본 연구에서 제안한 식을 검증하기 위하여 선행 연구에서 제안된 경험식과 함께 비교하여 Fig. 8에 도시하였다. 이 그림에서 ^Bansal(1971)식[Eq. (18)]과 ^{Deng et al.(2001)}식[Eq. (20)]은 실측값을 전체적으로 과대 예측하는 경향을 보이고 있으며, ^{Baek and Seo(2013)}식[Eq. (22)], ^{Baek and Lee(2023)}식[Eq. (26)], ^{Aghababaei et al.(2017)}의 유전프로그램밍에 의한 식[Eq. (23)]은 일부 실측값을 과소 예측하는 것을 알 수 있다. 본 연구에서 제안한 식에 의한 횡혼합계수 예측값은 기존 연구의 예측식보다 실측값과 일치성이 높은 것으로 나타났다. 각 경험식에 대한 예측 정확도를 정량적으로 비교하기 위하여 무차원 횡혼합계수에 대한 RMSE오차를 Fig. 9에 도시하였다. 이 그림에서 본 연구에서 제안한 식의 RMSE오차가 유도와 검증 자료 세트 모두에서 가장 낮게 나타났으며, ^Bansal(1971)식과 ^{Deng et al.(2001)}식의 RMSE오차가 가장 높은 것으로 나타나고 있음이 밝혀졌다. ^{Baek and Seo(2013)}식, ^{Huai et al.(2018)}식[Eq. (25)], ^{Baek and Lee(2023)}식의 RMSE오차는 본 연구에서 제안한 식과 거의 대등하게 나타났으며, ^{Aghababaei et al.(2017)}의 유전프로그램밍에 의한 식과 다중 선형회귀법에 의한 식[Eq. (24)]도 RMSE오차가 작게 나타났다.

상술한 바의 예측 정확도 및 오차 비교를 통하여 본 연구에서 제안한 식이 기존의 연구에서 제안한 예측식보다 우수한 예측 성능을 가지고 있음이 밝혀졌다. 그러나 Eq. (31)의 유도에 쓰인 자료의 하폭 대 곡률반경 비($\dfrac{W}{R_{c}}$)가 0.01~0.37의 범위에 있기 때문에 이러한 제한 조건을 고려하여 활용해야 한다.

Fig. 8. Validation of Empirical Equations Proposed for DT in this and Previous Studies

Fig. 9. Comparison of Prediction Accuracy (Nondimensional RMSE) of Empirical Equations