2. Baalousha 해석해
Baalousha(2012)는 Fig. 1과 같이 하천과 연결된 균질, 등방 무한대수층이 있고, 하천에서 $L$ 만큼 떨어진 곳에서 지하수를 양수했을 때 임의 시간 $t$, 임의 공간 위치
$(x, y)$에서의 지하수위 변화량 $s_t(x, y, t)$를 계산하기 위한 해석해를 Eqs. (1)-(3)과 같이 개발하였다.
Fig. 1. Definition Sketch for the Stream-Aquifer-Pumping Well System
여기서, $s_w$는 양수로 인한 지하수위 변화량, $s_r$은 하천 누수로 인한 지하수위 변화량, $Q$는 지하수 양수량, $T$는 투수량계수,
$S$는 저류계수, $L$은 하천중심으로부터 양수정까지 $x$ 방향 거리, $Ei$는 지수형 적분함수(exponential integral), $\lambda$는
하상퇴적층 수리전도도($K_s$)와 $W$ 곱을 하상퇴적층두께($M$)로 나눈 값, $\theta$는 하상수리전도성($\lambda$)을 하폭($W$)으로
나눈 값, 그리고 $\eta$ 및 $x’$은 적분변수이다. 지하수 해석에 있어서 지하수위 강하량(drawdown)이란 용어를 주로 사용하지만 Baalousha
해석해는 Fig. 1과 같이 연직상향을 양의 축으로 두었기에 강하량 대신 변화량(change)이라 칭하고 있어 Eq. (2)는 음의 값, Eqs. (3a)-(3b)는 양의 값을 가진다.
일반적으로 지하수 양수에 따른 지하수위 변화는 지하수 흐름 지배방정식에 대한 수치해석을 통해 산정한다. 그러나 Baalousha(2012)는 중첩원리를 적용하여 전체 지하수위 변화량($s_t$)을 양수에 의한 변화량($s_w$)과 하천 누수에 의한 변화량($s_r$)의 합으로 나타내고,
전자는 양수정 문제의 대표적인 해석해인 Theis 식(Eq. (2))으로, 후자는 하천 누수에 따른 지하수위 변화의 공간적 확산을 모사하는 경계치 문제(Eqs. (4)-(5))의 해로 나타내었다. 하천바닥을 통해 대수층으로 누수되는 유량, 즉 하천수 감소량은 하천 경계에서 대수층 내 하천 횡단 방향으로 유동하는 지하수
유동량과 동일하다고 가정하였다. 이에 따라 선폭(line-width) 하천과 유한폭(finite-width) 하천에 대해 각각 Eq. (5a)와 Eq. (5b)와 같은 경계조건을 설정하였다. Baalousha(2012) 논문에서는 Eqs. (5a)-(5b) 좌변의 $s_w$를 양수정 위치를 기준점으로 하여 $s_w(L, y, t)$로 나타내었으나, 본 연구에서는 좌표계의 기준을 하천 중심으로 통일하여
$s_w(x, y, t)$로 나타내었다.
Eq. (5a)와 Eq. (5b)는 모두 하천 누수량과 대수층 내 횡방향 지하수 유동량 사이의 질량보존을 나타내는 경계조건이다. Eq. (5a)의 좌변은 전체 하천 누수량 중 하천 중심을 기준으로 한쪽 대수층으로 공급되는 단위 하천 길이당 누수량을, 우변은 이에 대응하는 횡방향 지하수 유동량을
나타낸다. 반면, Eq. (5b)의 좌변은 유한 하폭 전체에서 발생하는 단위 하천 길이당 총 하천 누수량을, 우변은 하천 양쪽 경계에서의 횡방향 지하수 유동량의 합을 나타낸다. Eq.
(5a)의 계수 1/2과 Eq. (5b)의 계수 2는 모두 하천 중심을 기준으로 한 횡방향 대칭성 가정에 따른 것이다. Baalousha(2012)는 Eq. (4)의 해를 직접 구하는 대신에 Eqs. (5a)-(5b)와 같은 유동량에 대한 질량보존식을 해석적으로 풀어 선폭 하천인 경우는 Eq. (3a), 유한폭 하천은 Eq. (3b)과 같이 하천 누수로 인한 지하수위 변화량($s_r$) 산정식을 유도하였다.
지하수 양수에 따른 하천수 감소량($q_r$)은 하천의 경계를 통해 대수층으로 유출되는 유량의 합과 같다고 보고, Darcy 공식을 적용하여 선폭
하천과 유한폭 하천에 대해 각각 Eq. (6a)와 Eq. (6b)와 같이 나타내었다. Eqs. (6a)-(6b)에서 우변의 계수 2는 하천 길이 방향에 대한 대칭성을 이용하여 $-\infty < y < \infty$ 구간의 적분을 $0 < y < \infty$
구간 적분의 2배로 나타낸 것이다.
Eq. (3a)와 Eq. (3b)를 $x$ 에 대해 미분하고 이를 각각 Eq. (6a)와 Eq. (6b)에 대입한 후, $y$ 에 대해 무한구간 적분을 수행하면 최종적으로 선폭 및 유한폭 하천에 대한 하천수 감소량 산정 식 Eq. (7a)와 Eq. (7b)를 얻을 수 있다.
여기서, $erfc$ 는 0에서 1사이의 값을 갖는 여오차함수(complementary error function)이다. 이러한 하천수 감소량 해석해는
유한차분법, 유한요소법 등의 복잡한 수치해석 과정이 필요가 없는 장점이 있다. 그러나, Eq. (7b)에서 적분구간 $-W/2 \sim W/2$을 고려하면 우변의 세 번째 항과 네 번째 항에서의 유효거리는 $L - W \sim L$가 되어 하천-양수정
이격거리($L$)가 하폭($W$) 보다 작으면 음의 값을 갖는 모순이 발생한다. 따라서 Baalousha(2012)의 유한폭 해석해는 $L > W$인 조건에서만 유효하다. 또한 Eq. (5b)의 좌변 두 번째 항에서 $s_r$을 하폭에 대해 적분한 형태가 아닌 하천 중심 $x = 0$ 에서의 $s_r$ 을 사용하여 근사화한 것으로 완전한
엄밀해는 아니다.
3. Baalousha 해석해의 재정식화
3.1 선폭 해석해
Baalousha(2012)는 $s_r$ 에 관한 미분방정식 Eq. (4)를 직접 풀지 않고 국소 경계조건을 영역 문제로 확장 간주하여 Eq. (5a)를 이용하여 지하수위 변화량과 선폭 하천의 하천수 감소량에 관한 해석해를 구하였지만, 본 연구에서는 영역 문제 Eq. (4)를 지배방정식으로 하고, Eq. (5a)를 경계조건으로 하여 선폭 하천에 대한 닫힌 해를 유도하였다.
Eq. (4)의 지배방정식과 Eq. (5a)의 경계조건을 라플라스 변환하면 각각 Eq. (8)과 Eq. (9)와 같이 표현된다.
여기서 $\bar{s}_r$와 $\bar{s}_w$는 각각 $s_r$ 와 $s_w$ 의 라플라스 변환이며, $p$ 는 라플라스 변수이다. Eq. (8)에 초기조건 $s_r(x, y, 0) = 0$을 대입하면 Eq. (10)과 같이 더 간단한 2계 제차 미분방정식 형태가 되며, 이 식의 일반해는 Eq. (11)과 같이 나타낼 수 있다. 그리고, $x \rightarrow \infty$에서 $\bar{s}_r = 0$를 만족해야 하기에 $B = 0$이 되어야
하고, $x = 0$ 에서 Eq. (5a)를 만족해야 하므로 $A$ 는 Eq. (12)와 같이 된다.
Eq. (11)에 $A$ 와 $B$를 대입하고, $\beta = \lambda / (2\sqrt{ST})$, $b = x\sqrt{S/T}$ 로 치환하면 Eq.
(13)과 같이 나타낼 수 있다. 이 식으로부터 라플라스 영역에서의 $\bar{s}_r$은 $\bar{s}_w$과 반대방향으로 작용하고, 하상 및 대수층
수리상수 값에 따른 지체 특성과 하천중심으로부터 거리에 따라 지수함수적으로 감소하는 특성을 나타냄을 알 수 있다. Eq. (2)를 라플라스 변환하고, $x = 0$과 함께 Eq. (13)에 대입하면 Eq. (14)와 같이 나타낼 수 있다.
여기서, $K_0$는 제2종 변형 베셀함수이다. 다시 수치적 라플라스 역변환을 하면 시간영역에서의 $s_r$ 를 구할 수 있다.
양수로 인한 하천수 감소량 $q_r(t)$는 하천 중심 $x = 0$에서의 지하수위 변화량을 하천길이 $y$ 방향으로 적분하고 여기에 하상수리전도성
$\lambda$ 를 곱해 Eq. (15)와 같이 나타낼 수 있다.
Eq. (15)를 라플라스 변환 형태로 나타내면 Eq. (16)과 같고, 여기에 위에서 구한 Eq. (14)를 대입하면 Eq. (17)과 같이 나타낼 수 있다.
Eq. (9)에 $s_w(0, y, t)$를 라플라스 변환하여 대입하고, $y$ 에 대해 무한구간에 대해 적분하면 Eq. (18)과 같이 선폭 하천에 대한 $\bar{q}_r(p)$ 식을 유도할 수 있다.
Eq. (18)을 다시 라플라스 역변환하면 최종적으로 Eq. (19)와 같이 시간영역에서의 지하수 양수에 따른 하천수 감소량 $q_r(t)$ 산정식을 얻을 수 있다. 유도 과정에는 차이가 있으나, 이 식은 선폭 하천에
대해 Hunt(1999)와 Baalousha(2012)가 제시한 해석해와 동일하다.
3.2 유한폭 해석해
Baalousha(2012)는 유한폭 해석해를 유도하기 위해 선폭 해석해와 마찬가지로 2차원 지하수 흐름방정식을 직접 풀지 않고, Eq. (5b)와 같이 하천바닥을 통한 누수량과 하천 양측 경계를 통해 주변 대수층으로 유출되는 유량이 같다는 질량보존 조건을 적용하였다. 이때 $s_w$는 하폭
방향으로 적분한 평균값으로 나타내고, $s_r$ 는 하천 중심($x = 0$)에서의 대표값으로 근사하였다. 또한 하천 누수에 의한 지하수위 변화가
하천 중심을 기준으로 좌우 대칭이라고 가정하고, 이를 반영하여 Eq. (3b)의 $x$ 를 절댓값 형태로 표현하였다. 이러한 대칭성 가정은 해석해의 유도 과정에서도 적용되어, Eq. (5b)에서는 양측 하천 경계를 통한 누수량이 동일하다고 보고 전체 하천 누수량을 한쪽 경계에서의 플럭스의 2배로 나타내었다. 반면, 최종적인 하천 누수량,
즉 하천수 감소량을 산정하는 Eq. (6b)에서는 양수정에 가까운 경계와 먼 경계에서의 유량을 각각 산정한 후 이를 합산함으로써 양측 경계에서 서로 다른 플럭스를 고려하였다. 따라서 해석해의
유도 과정에서는 하천 중심을 기준으로 양측 경계의 플럭스가 동일하다는 대칭성 가정을 적용한 반면, 최종 하천수 감소량 산정 과정에서는 양측 경계의
플럭스를 서로 다르게 취급하고 있어 두 과정 사이에 이론적 일관성이 충분히 확보되지 않는다. 대칭성 가정은 선폭 하천이나 하폭이 충분히 좁아 양측의
수리적 반응 차이가 작은 경우에는 합리적인 근사가 될 수 있으나, 하폭이 넓고 양수정이 하천의 한쪽에 위치하는 경우에는 양수정으로부터 양측 경계까지의
거리가 달라지므로 그 적용성이 제한될 수 있다.
본 연구에서는 하폭 구간 내 비대칭적인 수위강하량 분포와 지하수의 하천 횡단($x$) 및 종단($y$) 방향 확산을 고려하여 보다 엄밀한 해를 유도하였다.
이를 위해 Eq. (20)과 같이 하천 누수에 의한 수위강하량, $s_r$을 종속변수로 하는 2차원 지하수 흐름방정식을 지배방정식으로 설정하였으며, 하천 누수항은 양수와 하천
누수에 의한 수위강하량의 합인 총수위강하량에 의해 결정되도록 하였다.
Baalousha(2012)와 달리 수두 변화량 대신 지하수 해석 분야에서 일반적으로 사용하는 수위강하량으로 표현하여 양수로 인한 수위강하량은 $s_w > 0$, 하천 누수로
인한 수위강하량은 $s_r < 0$이다. 참고로 정상류 조건, $y$ 방향 확산 무시, $x$ 방향 적분을 수행하면 Eq. (21)과 같이 축소되고, 더 나아가 하천 중심에서의 $s_r(0, y, t)$을 사용하고 대칭성을 가정하면, Baalousha가 사용한 Eq. (5b)와 같게 된다.
지배방정식 Eq. (20)를 하천 구역 내, 외로 구분하고, Eq. (22)을 이용하여 푸리에-라플라스 변환하면 하천 구역 내는 Eq. (23a), 하천 구역 외는 Eq. (23b)와 같이 나타낼 수 있다.
여기서, $\hat{\bar{s}}_r$와 $\hat{\bar{s}}_w$는 각각 $s_r$와 $s_w$의 푸리에-라플라스 변환형이며, $k_1$과
$k_0$는 각각 Eq. (24a)와 Eq. (24b)이다. 그리고, $s_w$를 푸리에-라플라스 변환하면, Eq. (25)와 같이 나타낼 수 있다.
하천 내부 지배방정식 Eq. (23a)은 2계 비제차 상미분방정식의 형태를 가지므로 내부 일반해($\hat{\bar{s}}_{r,in}$)는 Eq. (26)과 같이 특수해와 제차해의 합으로 나타낼 수 있다.
여기서, $P(x)$는 특수해로서 미정계수법(method of the undetermined coefficients)을 적용하여 지배방정식 우변(forcing
term)의 함수형을 따라 Eq. (27)과 같이 가정하였고, 제차해는 미지계수 $A$와 $D$ 를 갖는 쌍곡선 함수의 선형결합 형태로 표현하였다. Eq. (27)을 Eq. (23a)에 대입하여 미지계수 $C$ 를 구하면 Eq. (28)과 같이 되어 특수해 $P(x)$는 $-\hat{\bar{s}}_w$로 나타낼 수 있다.
외부 일반해는 무한대에서 0의 값을 가지므로 Eqs. (29a)-(29b)와 같이 미지계수를 갖는 지수 함수 형태로 나타낼 수 있다.
하천 경계에서의 수두 연속 및 플럭스 연속 조건을 적용하면, Eqs. (30a)-(30d)와 같이 4개의 대수방정식을 얻을 수 있다.
여기서, $h = k_1 W/2$, $P_R$과 $P_L$은 각각 $x = W/2$와 $x = -W/2$일 때의 특수해로서 Eqs. (27)-(28)로부터 구할 수 있다. 수두 연속 조건인 Eqs. (30a)-(30b)를 플럭스 연속 조건인 Eqs. (30c)-(30d)에 대입하여 정리하면, 미지계수 $A$와 $D$ 를 각각 Eqs. (31a)-(31b)와 같이 얻을 수 있다. 이를 다시 Eqs. (30a)-(30b)에 대입하면 나머지 미지계수 $B_R$과 $B_L$ 도 구할 수 있다.
다시 Eqs. (32)-(33)으로 푸리에 역변환 및 라플라스 역변환을 순차적으로 수행하면 시간영역에서의 수위강하량 $s_r(t)$로 환산할 수 있으며, 최종적으로 양수로 인한
수위강하량 $s_w$을 더해 총 수위강하량을 산정할 수 있다.
Eq. (21)과 같이 시간 영역에서 정의된 하천수 감소량 $q_r(t)$을 라플라스 변환하면 Eq. (34)와 같이 표현된다. 또한 푸리에 변환 관계를 이용하면, $y$ 방향의 무한구간에 대한 적분은 Eq. (35)와 같이 라플라스-푸리에 변환 영역에서의 수위강하량의 함수로 나타내어질 수 있다. 여기에 내부 영역의 해인 Eq. (26)을 대입하면, $\hat{\bar{s}}_w$는 서로 상쇄되어 Eq. (36)과 같이 정리된다. 마지막으로 이를 하폭에 대해 적분하면 Eq. (37)의 하천수 감소량에 대한 해석식을 얻을 수 있다.
여기서, $k_{1,0} = \sqrt{(Sp+\theta)/T}$ 이다. 최종적으로 라플라스 수치 역변환을 하면, 시간영역에서의 하천수 감소량 $q_r(t)
= \mathcal{L}^{-1}[\bar{q}_r(p)]$ 을 산정할 수 있다. 본 연구에서는 수치적 라플라스 역변환을 위해 Stehfest(1970)의 방법을 적용하였다.
4. 해석해 비교 및 고찰
본 연구에서 개발한 유한폭 하천에 대한 하천수 감소량 해석해와 Baalousha(2012)의 해석해를 적용한 결과를 서로 비교하였다. 수위강하량은 하천 중심에서 양수정 방향으로 하폭의 반만큼 떨어진 위치($x = W/2, y = 0$)에서
산정하였고, 하천수 감소량은 지하수 양수량으로 나누어 무차원화(dimensionless stream depletion, 이하 하천수 감소율)하여 나타내었다.
그림에서 실선과 표식 있는 점선는 각각 본 연구에서 개발한 해석해와 Baalousha(2012) 해석해를 적용한 결과이다.
Baalousha(2012)가 적용한 동일한 수리 조건에 대해 양수기간에 따른 수위강하량과 하천수 감소량을 산정하고 Fig. 2와 Fig. 3에 나타내었다. Fig. 2는 $Q = 1000\text{ m}^3\text{/d}$, $T = 400\text{ m}^2\text{/d}$, $S = 0.04$, $L =
100\text{ m}$, $\lambda = 1.0\text{ m/d}$, $W = 10\text{ m}$인 조건에 대한 수위강하량과 하천수 감소율의
시간적 변화로서 두 해석해 적용 결과가 서로 잘 일치하는 것을 알 수 있다.
Fig. 2. Comparison of (a) Drawdown and (b) Streamflow Depletion Predicted by the Present
and Baalousha Analytical Solutions under the Conditions of $Q = 1000\text{ m}^3\text{/d}$,
$T = 400\text{ m}^2\text{/d}$, $S = 0.04$, $L = 100\text{ m}$, $\lambda = 1.0\text{
m/d}$, and $W = 10\text{ m}$
Fig. 3은 $Q = 1000\text{ m}^3\text{/d}$, $T = 400\text{ m}^2\text{/d}$, $S = 0.3$, $L = 100\text{
m}$, $\lambda = 4.0\text{ m/d}$, $W = 40\text{ m}$인 조건에 대한 수위강하량과 하천수 감소율 산정 결과로서
두 해석해 적용 결과가 역시 잘 일치하는 것을 확인할 수 있다. Fig. 2 조건에 비해 하폭이 넓은 조건이지만, 수리확산계수($T/S$)가 낮아 하천수 감소율의 시간적 변화가 느린 반응을 나타내고 있다. 또한 하천수 감소율이
상대적으로 작은 만큼 수위강하량은 더 크게 일어나고 있어 양수량에 대한 대수층의 기여도가 Fig. 2에 비해 큰 것을 의미한다.
Fig. 3. Comparison of (a) Drawdown and (b) Streamflow Depletion Predicted by the Present
and Baalousha Analytical Solutions under the Conditions of $Q = 1000\text{ m}^3\text{/d}$,
$T = 400\text{ m}^2\text{/d}$, $S = 0.3$, $L = 100\text{ m}$, $\lambda = 4.0\text{
m/d}$, and $W = 40\text{ m}$
앞선 Baalousha(2012)가 적용한 것과 다른 수리 조건에 대한 적용 결과를 Fig. 4와 Fig. 5에 나타내었다. Fig. 4는 $Q = 1000\text{ m}^3\text{/d}$, $T = 50\text{ m}^2\text{/d}$, $S = 0.1$, $L = 300\text{
m}$, $\lambda = 10.0\text{ m/d}$, $W = 100\text{ m}$ 조건에서 산정된 수위강하량과 하천수 감소율을 나타낸
것이다. Fig. 2와 Fig. 3에 비해 수리확산계수는 작고 하천과 양수정 간 거리가 길어, 지하수 양수의 영향이 하천에 도달하는 데 더 긴 시간이 소요되고, 또한 하폭이 더 넓어
하천 누수에 의한 수위강하량의 비대칭성이 더욱 뚜렷하게 나타날 수 있는 조건이다. 이러한 조건에서는 두 해석해에 의해 산정된 결과의 차이가 시간 경과에
따라 점차 증가하는 것으로 나타났다. 본 연구에서 유도한 해석해를 검증하기 위해 MODFLOW 지하수모형을 이용한 수치해석 결과를 그림에 함께 제시하였다.
양수에 따른 수위강하가 최외곽 경계에 미치는 영향을 최소화하기 위해 모의영역을 4 km × 4 km로 충분히 크게 설정하였다. 모형은 단일 레이어로
구성하였으며, 격자크기를 10 m × 10 m로 설정하여 총 400행 × 400열의 격자로 이산화하였다. 모의영역의 최외곽 셀에는 무흐름 경계조건(no-flow
boundary condition)을 부여하였고, 하천 셀에는 수두 차이에 따라 하천과 대수층 간 물 교환이 발생하도록 일반수두경계조건(general-head
boundary condition)을 적용하였다. 양수정 측 하천 경계에서의 수위강하량은 하천 가장자리 셀과 이에 인접한 비하천 셀에서 계산된 수위강하량의
평균값으로 산정하였다. 그림에서와 같이 본 연구에서 유도한 해석해와 MODFLOW 수치해석 결과가 서로 잘 일치하여 해석해의 타당성을 확인할 수 있다.
Fig. 4. Comparison of (a) Drawdown and (b) Streamflow Depletion Predicted by the Present
and Baalousha Analytical Solutions under the Conditions of $Q = 1000\text{ m}^3\text{/d}$,
$T = 50\text{ m}^2\text{/d}$, $S = 0.1$, $L = 300\text{ m}$, $\lambda = 10.0\text{
m/d}$, and $W = 100\text{ m}$
Fig. 5는 Fig. 4의 조건에서 하폭을 2배 증가시킨 경우로, 두 해석해의 적용 결과 간 차이가 더욱 커지는 것으로 나타났다. 또한 Fig. 4에서와 마찬가지로 본 연구에서 유도한 해석해가 MODFLOW 수치모의 결과와 잘 일치하였다. 종합하면, 하폭이 비교적 작은 경우(Figs. 2-3)에는 두 해석해의 적용 결과가 거의 일치하였으나, 하폭이 증가함에 따라(Figs. 4-5) 그 차이가 뚜렷해지는 것으로 나타났다. 이는 Baalousha 해석해를 적용할 때 하폭을 비롯한 수리 및 기하학적 조건에 따라 근사화 가정의 영향이
달라질 수 있으므로, 그 적용 범위를 신중하게 고려할 필요가 있음을 시사한다.
Fig. 5. Comparison of (a) Drawdown and (b) Streamflow Depletion Predicted by the present
and Baalousha analytical solutions under the conditions of $Q = 1000\text{ m}^3\text{/d}$,
$T = 50\text{ m}^2\text{/d}$, $S = 0.1$, $L = 300\text{ m}$, $\lambda = 10.0\text{
m/d}$, and $W = 200\text{ m}$
위에서 살펴본 바와 같이, 하폭이 작은 경우에는 본 연구의 유한폭 해석해와 Baalousha 해석해의 적용 결과가 잘 일치하지만, 하폭이 증가함에
따라 두 해석해 간 차이가 커지는 원인을 분석하기 위해 수위강하량의 공간분포를 Figs. 6과 7에 나타내었다. 이를 위해 가로 500 m, 세로 400 m의 영역에 100 × 100개의 계산점을 설정하고, 각 지점에서 수위강하량을 계산하여 공간분포를
나타내었다.
Fig. 6은 $Q = 1000\text{ m}^3\text{/d}$, $T = 400\text{ m}^2\text{/d}$, $S = 0.3$, $L = 100\text{
m}$, $\lambda = 4.0\text{ m/d}$, $W = 40\text{ m}$인 조건에서 지하수 양수 100일 후 수위강하량의 공간분포를
나타낸 것이다. Fig. 6(a)–(c)는 본 연구에서 재정식화한 해석해의 적용 결과이며, Fig. 6(d)–(f)는 Baalousha 해석해의 적용 결과이다. Figs. 6(a)와 6(d)는 Theis 식으로 산정한 양수에 의한 수위강하량으로, 두 해석해에서 동일한 결과를 나타낸다. Figs. 6(b)와 6(e)는 하천 누수에 의한 수위변화량을 나타내며, 음(-)의 값을 가짐으로써 양수에 의한 수위강하를 완화하는 효과를 보여준다. Baalousha 해석해는
하천 중심선($x = 0$)을 기준으로 완전한 대칭 분포를 나타내는 반면, 본 연구에서 재정식화한 해석해는 거의 대칭적인 분포를 보이지만 $y$ 방향의
확산을 고려함에 따라 보다 완만하고 연속적인 곡면 형태를 나타낸다. 양수에 의한 수위강하량과 하천 누수에 의한 수위회복량을 합한 총수위강하량은 Figs. 6(c)와 6(f)에서 보는 바와 같이 두 해석해로 산정한 총수위강하량은 전반적으로 유사한 공간분포를 보인다. 이러한 결과는 앞선 Fig. 2와 Fig. 3의 조건에서 Baalousha 해석해와 본 연구의 해석해로 산정한 하천수 감소율이 서로 잘 일치한 결과와도 일관된다.
Fig. 6. Drawdown Distributions Predicted by the Present Analytical Solution (a, b,
c) and the Baalousha Analytical Solution (d, e, f): (a, d) Pumping-Induced Drawdown,
($s_w$); (b, e) Stream-Leakage-Induced Drawdown Component, ($s_r$); and (c, f) Total
Drawdown, ($s_t$), under the Conditions of $Q = 1000\text{ m}^3\text{/d}$, $T = 400\text{
m}^2\text{/d}$, $S = 0.3$, $L = 100\text{ m}$, $\lambda = 4.0\text{ m/d}$, and $W
= 40\text{ m}$
Fig. 7은 $Q = 1000\text{ m}^3\text{/d}$, $T = 50\text{ m}^2\text{/d}$, $S = 0.1$, $L = 300\text{
m}$, $\lambda = 10.0\text{ m/d}$, $W = 100\text{ m}$ 조건에서 지하수 양수 100일 후의 수위강하량 공간분포를
나타낸 것으로, Fig. 6의 조건보다 투수량계수와 수리확산계수가 작아 전반적으로 더 큰 수위변화가 나타난다. 특히 Figs. 7(b)와 7(e)에서 확인할 수 있듯이, 본 연구에서 재정식화한 해석해로 산정한 하천 누수에 의한 수위회복량은 Baalousha 해석해와 달리 하천 구간 내에서 비대칭적으로
분포하며, 그 크기도 더 크게 나타난다. 이에 따라 총수위강하량을 나타낸 Figs. 7(c)와 7(f)를 비교하면, Baalousha 해석해는 본 연구의 해석해에 비해 하천 및 그 주변에서 총수위강하량을 크게 산정하는 것으로 나타난다. 이는 Baalousha
해석해에서 하천 누수에 의한 수위회복 효과가 상대적으로 작게 산정되기 때문이다. 또한 더 큰 총수위강하량은 양수에 대한 하천수의 기여, 즉 하천 누수에
의한 수위강하 완화 효과가 상대적으로 작음을 의미한다. 따라서 이러한 결과는 Baalousha 해석해가 본 연구의 해석해에 비해 더 작은 하천수 감소율을
산정한 Fig. 4와 Fig. 5의 결과와도 일관된다.
Fig. 7. Drawdown Distributions Predicted by the Present Analytical Solution (a, b,
c) and the Baalousha Analytical Solution (d, e, f): (a, d) Pumping-Induced Drawdown,
($s_w$); (b, e) Stream-Leakage-Induced Drawdown Component, ($s_r$); and (c, f) Total
Drawdown, ($s_t$), under the Conditions of $Q = 1000\text{ m}^3\text{/d}$, $T = 50\text{
m}^2\text{/d}$, $S = 0.1$, $L = 300\text{ m}$, $\lambda = 10.0\text{ m/d}$, and $W
= 100\text{ m}$
Baalousha(2012)는 선정된 수리 조건에서 유한폭 해석해를 수치모델링 결과와 비교하여 검증하고, 하폭에 따른 지하수위 강하 및 하천수 감소 특성을 분석하였다. 그러나
비교적 작은 하폭과 높은 대수층 투수성 등 제한된 수리 조건을 중심으로 분석이 이루어졌기 때문에 보다 다양한 수리 및 기하학적 조건에서 유한 하폭이
지하수위 강하와 하천수 감소에 미치는 영향을 평가할 필요가 있다.
대수층 및 하상의 수리특성값 조합에 따른 본 연구에서 유도한 해석해와 Baalousha 해석해의 적용 결과를 비교하였다. 양수량은 $100\text{
m}^3\text{/d}$, 투수량계수는 10, 20, 50, 100, 200, $500\text{ m}^2\text{/d}$, 저류계수는 0.01,
0.02, 0.05, 0.1, 0.2, 0.3, 하상수리전도도는 0.1, 0.5, 1.0, 5.0, $10.0\text{ m/d}$, 하천바닥층 두께
1 m, 하폭 및 하천경계부터 관정간의 거리는 각각 10 m씩 증가시켜 10 m부터 100 m까지, 양수시간은 10일 간격으로 10일부터 100일까지
총 216,000 개 조건에 대해 하천수 감소율을 산정하였으며, 이 중 $L > W$, 즉 $L’ (= L - W/2) > W/2$를 만족하지 않는
조건은 제외하고 그 결과를 Figs. 8-9에 제시하였다.
Fig. 8. Comparison of Streamflow Depletion Predicted by the Present and Baalousha
Analytical Solutions under Various Hydraulic Conditions
Fig. 8(a)는 두 해석해에 의해 산정된 하천수 감소율을 일대일로 비교한 것으로, 하천수 감소율이 낮은 일부 조건을 제외하면 전반적으로 Baalousha 해석해가
본 연구의 해석해보다 하천수 감소율을 작게 산정하는 경향을 나타내었다. Fig. 8(b)는 하폭에 따른 두 해석해의 차이를 나타낸 것으로, 종축의 차이(difference)는 Baalousha 해석해로 산정한 하천수 감소율에서 본 연구의
해석해로 산정한 값을 뺀 값으로 정의하였다. 하폭이 증가할수록 두 해석해 간 차이의 크기가 증가하는 경향이 나타나며, 이는 하폭이 넓어질수록 하천
구간 내 하천 누수에 의한 지하수위 변화의 비대칭성이 하천수 감소율 산정에 미치는 영향이 커질 수 있음을 시사한다. Fig. 8(c)는 하천 경계로부터 양수정까지의 거리($L’$)에 따른 상대차이를 나타낸 것으로, 상대차이의 분포 범위는 거리가 증가함에 따라 약 40–60 m까지
확대된 후 다시 감소하는 경향을 보인다. 비교적 큰 거리에서는 두 해석해 간 상대차이가 감소하는 경향을 보으나, 거리 증가에 따른 단조로운 감소 경향은
나타나지 않는다. 이는 양수정–하천 거리뿐만 아니라 투수량계수, 저류계수 등 다른 수리특성이 복합적으로 작용하기 때문으로 판단된다. 하폭과 거리의
복합 영향을 보다 명확하게 파악하기 위해서 Fig. 8(d)와 같이 하천 경계로부터 양수정까지의 거리($L’$)를 하폭($W$)으로 나눈 상대거리(relative distance)에 따른 두 해석해의 차이를
도시한 결과, 상대거리가 증가할수록 두 해석해 간 차이가 급격히 감소하는 것으로 나타났다. 양수정이 하천에 가까운 경우에는 하천의 양수측 경계와 반대측
경계에서 양수정까지의 거리가 크게 달라 하천폭 내 수위강하 및 하천 누수 분포의 비대칭성이 크게 나타날 수 있다. 반면, 양수정–하천 거리가 하폭에
비해 충분히 커지면 하천폭에 걸친 양수정까지의 상대적인 거리 차이가 감소하고 수위강하 분포도 보다 완만해져, Baalousha 해석해의 단순화 가정에
따른 영향이 감소한다. 이에 따라 본 연구에서 검토한 수리 및 기하학적 조건에서는 대략 $L’/W > 2$인 경우 두 해석해의 차이가 비교적 작게
나타나, Baalousha 해석해를 적용하더라도 유한 하폭에 따른 근사화의 영향이 상대적으로 제한적인 것으로 판단된다.
Jenkins(1968)은 하천-관정 이격거리 제곱과 저류계수의 곱을 투수량계수로 나눈 값을($SL^2/T$)을 하천고갈지수(stream depletion factor,
SDF)라 정의하고, 시간($t$)을 SDF로 나누어 무차원화한 값($t/\text{SDF}$)에 따른 하천수 감소율의 변화를 분석하였다. 이러한
무차원화는 개별 수리특성 인자의 영향보다는 수리특성과 시간의 복합적인 영향을 파악하는 데 유용하다. Baalousha 해석해와 본 연구에서 재정식화한
해석해의 가장 큰 차이는 하천 누수에 의한 지하수위 회복량을 하천 중심을 기준으로 대칭적으로 가정하는지, 또는 하천 구간 내에서의 비대칭적 분포를
고려하는지에 있다. 이러한 비대칭성은 Figs. 8(b)-8(d)에서 확인한 바와 같이 하폭의 영향을 크게 받는다. 따라서 하폭의 영향을 추가로 반영하기 위해 무차원 시간($t/SDF$)에 상대거리($L’/W$)를
곱한 값을 무차원 특성시간(dimensionless characteristic time)으로 정의하고, 이에 따른 두 해석해의 하천수 감소율 차이와
상대 백분율 차이를 각각 Figs. 9(a)와 9(b)에 나타내었다.
Fig. 9. Difference and Relative Percent Difference in Streamflow Depletion as Functions
of Dimensionless Characteristic Time
Fig. 9(a)에서 보는 바와 같이, 두 해석해에 의한 하천수 감소율의 차이는 초기에 크게 나타나지만 무차원 특성시간 경과에 따라 급격히 감소하며, 5 보다 큰
조건에서는 그 차이가 0.1 미만으로 감소하며, 점차 0에 수렴한다. Fig. 9(b)의 상대 백분율 차이는 각 수리조건에서 두 해석해로 산정한 하천수 감소율의 차이를 본 연구에서 제시한 해석해의 하천수 감소율로 나눈 후 100을 곱하여
산정하였다. 하천수 감소율이 매우 작은 조건에서는 상대 백분율 차이가 과도하게 커질 수 있으므로, 그림에서는 종축의 상한을 80 %로 제한하였다.
상대 백분율 차이도 무차원 특성시간 경과에 따라 감소하여 5 보다 큰 조건에서는 대체로 10 % 미만으로 나타난다. 이후 무차원 시간이 증가함에 따라
두 해석해 간 상대 백분율 차이도 점차 0에 수렴하는 경향을 보인다. 이는 무차원 특성시간이 증가함에 따라 Baalousha 해석해에 적용된 근사화
가정의 영향이 감소하며, 충분히 큰 무차원 특성시간에서는 본 연구에서 재정식화한 해석해와 유사한 결과를 나타냄을 의미한다.