2.1 IMD(Improved Mahalanobis Distance) 이론

일반적으로 두 개의 서로 다른 데이터($x$, $y$)의 거리를 비교하기 위해 사용되는 유클리드 거리 이론은 Eq. (1)과 같이 정의된다^{(Heo and Kim, 2014)}.

여기서 $x$와 $y$는 동일한 차원을 가지는 관측벡터(또는 특징벡터)로서 $x=\left[x_{1},\: x_{2},\: \cdots ,\: x_{k}\right]^{T}$, $y=\left[y_{1},\: y_{2},\: \cdots ,\: y_{k}\right]^{T}$와 같이 나타낼 수 있다. 이때 $x_{i}$와 $y_{i}$는 각각 $i$번째 센서 응답에 대한 두 데이터의 값을 의미하며, $\left(x_{i}-y_{i}\right)$는 해당 특성에서 두 데이터 간의 차이를 나타낸다. 즉, $\left | x_{i}-y_{i}\right |$의 크기가 클수록 $i$번째 특성에서 두 데이터의 차이가 크다는 것을 의미한다. 유클리드 거리 $D_{E}(x,\: y)$는 이러한 각 성분 차이 $\left(x_{i}-y_{i}\right)$를 제곱하여 모두 합한 후 제곱근을 취한 값으로, $k$차원 특성 공간에서 벡터 $x$와 $y$사이의 직선 거리를 의미한다. 따라서 $D_{E}(x,\: y)$는 두 데이터가 서로 얼마나 유사하거나 상이한지를 정량적으로 나타내는 단순하고 직관적인 척도라는 장점이 있다.

그러나 유클리드 거리는 모든 특성을 가중치로 취급하며, 각 성분의 변동성(Variability), 물리적 단위와 크기 차이, 그리고 성분 간 상관관계(Correlation)를 충분히 반영하지 못하는 한계를 가진다. 예를 들어 본질적으로 변동성이 큰 센서의 경우 손상과 무관한 자연스러운 분산에 의해서도 $\left(x_{i}-y_{i}\right)$ 값이 크게 나타나 전체 거리 값을 지배하게 되며, 이는 실제 손상이 없음에도 큰 거리로 인해 오탐(False alarm)을 유발할 수 있다. 반대로 변동성이 매우 작은 민감한 특성에서 발생한 작은 변화는 다른 큰 분산 성분에 묻혀 거리 변화로 충분히 반영되지 않을 수 있다. 즉, 가중치가 고려되지 않으면 “원래부터 분산이 큰 특성” 자체가 손상 징후로 잘못 인식되는 문제가 발생한다.

이러한 문제를 보완하기 위하여 각 특성의 분산과 상관관계를 반영하는 공분산 $R$을 도입하고, Eq. (1)에 통계적 가중치를 부여하면 다음의 Eq. (2)와 같은 일반화된 거리 척도로 표현할 수 있다.

여기서 $u=\left(\dfrac{x_{1}}{s_{1}},\: \cdots ,\: \dfrac{x_{n}}{s_{n}}\right)$, $v=\left(\dfrac{y_{1}}{s_{1}},\: \cdots ,\: \dfrac{y_{n}}{s_{n}}\right)$이며, $s_{n}$는 표준편차이고, $R=diag\left(s_{1}^{2},\: \cdots ,\: s_{n}^{2}\right)$이며, 관측벡터의 공분산 행렬이고, $R^{-1}$은 그 역행렬로서 각 특성의 변동성과 상관관계를 반영하는 가중치 행렬의 역할을 한다. 분산이 큰 방향에는 작은 가중치가, 분산이 작은 민감한 방향에서는 큰 가중치가 부여되므로 Eq. (2)의 거리 $D_{E}(x,\: y)$는 데이터의 통계적 특성을 고려한 보다 정교한 손상 민감도 지표로 해석할 수 있다. 만약, $R$이 대각형렬이 아니고 각 변수 간 상관관계가 존재한다면, 각 변수의 변동성과 공분산 구조를 고려하여 다변량 중심(평균벡터)으로부터의 거리를 정의한 값이 마할라노비스 거리, 즉 MD 이다. 이러한 관계는 다음의 Eq. (3)과 같이 표현된다.

여기서, MD에서 $x$는 구조물로부터 획득된 관측값, $m$은 $x$의 평균값이고, $R$은 관측값 $x$의 공분산 행렬이다. 이 이론은 두 지점의 단순한 거리만을 고려하는 것이 아니라, 각 변수의 분산(표준편차)과 변수 간 상관관계(공분산)를 함께 반영하여 거리를 정의한다는 특징을 갖는다. $x$, $y$와 같은 계측값의 MD는 계측과 평균값과의 거리가 표준편차의 몇 배인지를 나타내는 값이다. 즉, 반복하중과 같이 데이터 간의 변동이 크지 않은 상황에서는 이상 상황에서 발생하였을 경우, MD는 매우 큰 값을 가질 것이다. 그러나 지진하중과 같이 데이터 간의 변동이 매우 큰 경우, MD는 매우 작은 값이 나올 것이다. 이에 따라 지진하중 상태에서의 손상은 MD를 이용하여서는 식별하기 매우 힘들다^{(Heo and Kim, 2014)}.

따라서, 이러한 MD의 단점을 개선하기 위하여 제안된 IMD는 다음의 Eq. (4)와 같이 정의된다.

Eq. (4)에서 $\Delta x_{n}$은 $n$번째 시점에서 무손상 데이터($x_{n}$)에서 손상 데이터($\overline{x}_{n}$)를 뺀 결과값으로 구성된 $k$차원 벡터이다. 여기서 $k$는 IMD 산정에 사용된 센서의 개수를 의미한다. $m_{k}$는 $\Delta x$의 전체 시간 구간에 대해 센서별 평균값으로 산정되며, $R$은 $\Delta x$의 $k\times k$ 공분산 행렬, 위첨자 $T$는 전치이다. 새롭게 제안한 IMD는 앞서 언급한 MD의 단점인 데이터 간의 큰 변동성에 따른 MD의 감소를 보완하고자, 손상 전과 후의 데이터 간의 차($\Delta x$)를 사용하여 큰 변동성을 지닌 데이터의 변동성을 감소시킨 기술이다.

MD와 IMD를 이용하여 구조물의 상태를 평가하기 위해서는 구조물의 이상 유무를 판단할 수 있는 기술이 필요하다. 이를 위하여 MD와 IMD 기반의 관리 차트를 다음 Eq. (5)~(6)에 정의하였다^{(Hong and Kim, 2010)}.

여기서, $\overline{MD}$는 마할라노비스 거리의 평균값, $\alpha$는 표준정규분포에서 신뢰구간 99.7 %에 해당하는 신뢰도 수준, $\sigma$는 마할라노비스의 표준편차이다. 계측 데이터로부터 계산된 MD와 IMD 기반의 관리 차트에서 상한계선의 범위를 벗어난 데이터에 대해서 구조물의 상태에 이상이 있다고 판단한다.

2.2 공분산 행렬(Covariance Matrix) 차원의 역할

2.1절에서 정의한 IMD는 손상 전·후 데이터의 차분 벡터 $\Delta x_{n}$, 평균벡터 $m_{k}$ 및 공분산행렬 $R$을 이용하여 손상 민감도를 정량화하는 지표이다. 이때 공분산 행렬 $R$은 IMD 산정에 사용되는 $k$개의 센서의 분산과 상관관계를 포함한 $k\times k$행렬이므로, 공분산 행렬의 차원 $k$는 곧 IMD에 반영되는 정보의 범위와 해상도를 결정하는 핵심 인자로 해석할 수 있다. 공분산 행렬 $R$은 Eq. (8)과 같이 정의된다.

여기서, $N$은 샘플 수, $m_{k}$는 전체 샘플의 평균값, $\Delta x_{n}$는 $n$번째 샘플의 계측값, $(\Delta x_{n}-m_{k})$은 각 샘플의 평균으로부터의 편차이다. 이때, $R$의 대각 원소는 각 센서 신호의 분산을, 비대각 원소는 센서 간 공분산을 의미하며, 이 행렬을 기준 상태에서의 다변량 통계적 분포 특성을 나타낸다. 따라서 공분산 행렬은 Eq. (9)와 같이 표현된다.

즉, $R_{kk}$는 $k$번째 센서의 분산, $R_{1k}=R_{k1}$은 센서 1과 센서 $k$의 공분산이다. 공분산 행렬 차원이 커질수록 더 많은 센서 정보가 포함되어 구조물의 공간적 거동 특성을 보다 풍부하게 반영할 수 있다. 여러 위치의 응답을 동시에 고려하면 손상에 의해 발생하는 공간적 패턴 변화가 공분산 구조의 변화로 나타나므로, 무손상 상태와 손상 상태 사이의 통계적 거리가 증가하여 IMD의 손상 민감도가 향상될 가능성이 크다. 특히 사장교와 같이 다수의 케이블과 상부구조가 상호 연동하는 시스템에서는 공분산 차원을 확대함으로써 다변량 응답의 상관관계를 보다 충실히 반영할 수 있다는 장점이 있다.

하지만 공분산 행렬의 차원이 지나치게 증가하면 몇 가지 부정적인 효과도 발생한다. 먼저, 동일한 계측 길이(표본 수)를 가정할 때 차원이 커질수록 공분산 행렬 추정에 사용되는 유효 표본 수가 상대적으로 부족해져 $R$의 추정 오차가 커지고, 이로 인해 역행렬 $R^{-1}$의 수치적 안정성이 저하될 수 있다. 또한 상호 높은 상관성을 갖는 센서를 과도하게 포함할 경우 공분산 행렬이 다중공선성(Multicollinearity)에 의해 열악한 조건 수(Condition number)를 가지게 되어, IMD가 특정 방향의 잡음이나 우연 변동에 과도하게 민감해지는 문제가 발생한다. 이러한 현상은 오탐과 미탐(Missed detection) 가능성을 동시에 증가시켜 손상평가의 신뢰성을 저하시킬 수 있다. 따라서 공분산 행렬의 차원은 단순히 가능한 많은 센서를 포함하는 것이 아니라, 구조물 거동을 대표할 수 있는 충분한 공간적 정보를 확보하는 동시에 공분산 행렬의 추정 안정성과 수치적 조건을 만족하도록 적정 수준으로 설정하는 것이 중요하다.

3.1 모형 사장교 구조물

본 연구의 대상 구조물은 Fig. 1에 나타낸 2주탑 모형 사장교로, 전체 형상은 길이 4.42 m, 폭 0.12 m, 최대 높이 1.60 m로 설계·제작하였다. 모형 사장교는 주탑 상부에서 상판(거더)으로 케이블이 연결되는 1면 케이블 배치 형식이며, 주탑 중앙부를 기준으로 케이블이 좌우로 각각 연결되는 구성으로 총 8개의 케이블을 설치하였다. 케이블은 주탑 최상단부와 상판(거더)의 가로보를 연결하도록 배치하여, 주탑-상판 간 하중 전달 특성이 모형에 반영되도록 하였다. 경계조건은 외력이 구조물에 원활히 전달되도록 교대와 교각 각 지점에 교좌장치를 적용하였으며, 교대 및 좌측 교각은 pin, 우측 교각은 roller로 구성하였다. 또한, 각 케이블에는 장력 조절이 가능하도록 스프링 강성 1.03 N/mm의 스프링을 설치하여 제작하였으며, 이를 통해 케이블 장력 상태를 설정·조정할 수 있도록 하였다.

3.2 실험 장비 구성 및 배치

모형 사장교의 무손상 상태 응답 데이터를 획득하기 위한 실험 장치는 Fig. 2와 같이 가진 시스템과 계측 시스템으로 구성하였다. 가진 시스템은 모형 사장교에 지진하중을 모사한 입력을 재현하기 위해 전자식 액추에이터를 사용하였으며, 입력 신호로는 El-centro 지진파를 사용하였다. El-centro 지진파는 SPIDER-81 진동 제어기를 통해 구동 신호로 변환되어 액추에이터로 전달되며, 액추에이터는 모형 사장교 하부 구간에 설치되어 구조물에 외력을 인가하도록 구성하였다. 전자식 액추에이터는 JINN 사의 EMA(L)-500을 사용하였다. 계측 시스템은 가진에 의해 발생하는 구조물의 동적 응답을 동기화하여 획득하기 위해 iOtech사의 652U 데이터 로거를 사용하였고, 응답 계측에는 Dytran사의 3055B3 가속도계를 적용하였다. 가속도계는 구조물의 동적 거동을 대표할 수 있도록 상판(거더) 구간을 중심으로 총 8개(S1~S8)를 배치하였으며, 각 센서는 Fig. 2에 표시된 위치에서 수직 방향 가속도를 측정하도록 설치하였다. 측정된 가속도 신호는 iOtech 652U를 통해 수집되어 IMD 기반 손상평가 분석에 활용하였다.

3.3 무손상 및 손상 응답 신호 추출

모형 사장교의 무손상 응답은 Fig. 2와 같이 설치한 가속도계(S1~S8)를 이용하여 512 Hz의 샘플링율로 64초간 측정하였다. 무손상 상태에서 계측을 완료한 후, 케이블 손상에 따른 응답 변화를 확인하기 위해 단일손상 및 복합손상 시나리오를 구성하여 동일한 가진 조건에서 손상 상태의 가속도 응답을 추가로 획득하였다. 단일손상시나리오에서는 케이블 4번을 파단하였고, 복합손상 시나리오에서는 케이블 3번과 5번을 파단한 상태에서 무손상과 동일한 조건으로 계측을 수행하였다.

Fig. 3은 대표 계측 지점(S5)에서 획득한 가속도 응답을 무손상(Undamage)과 손상 케이스(Damage 4, Damage 3, 5)별로 비교한 결과를 나타냈다. Fig. 3에서 세 경우 모두 El-centro 입력에 의해 초기 구간에서 비교적 큰 진폭의 응답이 나타난 이후, 시간이 경과함에 따라 진폭이 감소하는 유사한 시계열 형태를 보인다. 또한 손상 케이스의 응답은 무손상 응답과 비교하여 일부 시간 구간에서 진폭 차이 또는 국부적 피크가 관찰되지만, 전체 파형의 형태와 감쇠 양상이 전반적으로 유사하여 원시 가속도 시계열만으로는 손상 여부에 따른 차이를 명확히 구분하기 어려운 것을 확인할 수 있다. 이와 같은 경향은 다른 센서 위치에서도 유사하게 나타났으며, 이는 지진하중과 같은 비정상 입력 조건에서는 구조물 응답이 외력 특성에 크게 지배되어 손상에 의해 유발된 변화가 원시 신호상에서 상대적으로 미약하게 나타날 수 있음을 의미한다.

4.1 공분산 차원에 따른 IMD 결과 비교

본 절에서는 공분산행렬 차원 변화가 IMD 응답의 분포와 이상 구간의 구분성에 미치는 영향을 비교하였다. 동일한 입력 조건에서 $k$를 단계적으로 증가시키면, 다변량 응답의 분산 및 센서 간 상관 구조가 공분산행렬을 통해 IMD에 반영되는 정도가 변화하므로 IMD의 피크 크기, 기준선(UCL) 초과 구간, 그리고 정상/손상 상태의 분리도가 변화할 수 있다. 이에 따라 공분산 차원($k$)을 1, 2, 4, 6 조건에서 산정된 IMD 결과를 비교하였다. 이때 센서 조합은 물리적 배치 및 구조 거동을 고려하여, 경계조건 영향이 상대적으로 작은 중앙 경간 중간의 S4를 기준으로 인접 센서(S5), 중앙부 영향 구간(S3~S6), 확장 구간(S2~S7)을 단계적으로 포함하도록 구성하였다. 이를 통해 손상에 따른 다지점 응답의 상관 구조가 공분산 행렬을 통해 IMD에 누적 반영되도록 하였다.

Fig. 4는 공분산 차원별 IMD 시계열 결과를 나타낸다. 파란 영역은 시간에 따른 IMD 값의 변동을 의미하며, 붉은 선은 이상 여부 판단을 위한 기준선(UCL)을 나타낸다. 공분산 차원이 1개인 경우에서는 IMD의 전반적인 수준과 변동 폭이 상대적으로 작고, 손상 구간에서도 국부 피크가 제한적으로 나타나 UCL 초과가 뚜렷하지 않다. 즉, 단일 차원의 정보만으로는 손상에 의해 유발된 응답 변화가 충분히 누적되지 않아, 정상 구간과 이상 구간의 분리도가 크지 않은 것으로 해석된다. 반면 공분산 차원이 2개인 경우에서는 IMD 피크의 크기와 출현 빈도가 증가하며, 이상 구간에서 IMD가 기준선에 근접하거나 초과하는 경향이 보다 뚜렷해진다. 이는 두 센서로 구성된 특징벡터가 단일 차원 대비 더 많은 정보를 포함하며, 변수 간 상관관계가 공분산행렬을 통해 반영되면서 이상패턴이 강화된 결과로 볼 수 있다. 공분산 차원이 4개와 6개에서는 이러한 경향이 더욱 명확해져, 이상 구간에서 IMD가 크게 상승하고 최대 피크 또한 증가한다. 특히 공분산 차원이 6개인 경우 손상 구간에서 IMD 수준이 정상 구간 대비 증가하고, UCL 초과 구간(초과 빈도 및 지속시간)이 확대되어 정상-손상 상태의 분리도가 가장 크게 향상됨을 확인할 수 있다. 이는 공분산 차원이 증가할수록 다수 변수의 동시 변화가 IMD에 누적 반영되어 손상으로 인한 변화가 상대적으로 크게 증폭되기 때문으로 해석된다.

한편, Fig. 4 결과는 시점별 IMD 변동을 직접 보여주지만, IMD는 순간 외란에 의해 국부 피크가 발생할 수 있으므로 공분산 차원 확장 효과를 보다 명확히 비교하기 위해 IMD 응답을 RMS 및 평균 피크값으로 요약하였다. Table 1은 공분산 차원($k$)별로 선정된 센서 구성에 대해 RMS와 평균 피크값을 정리한 결과이다. $k=1$에서 센서 S4 단일 구성의 RMS는 1.4002, 평균 피크값은 5.3626이며, $k=2$에서 센서(S4, S5) 구성의 RMS는 1.9766, 평균 피크값은 6.9604로 증가한다. 또한 $k=4$에서 센서(S3, S4, S5, S6) 구성의 RMS는 2.7900, 평균 피크값은 8.9114로 증가하며, $k=6$에서 센서(S2–S7) 구성의 RMS는 3.4011, 평균 피크값은 10.3220으로 가장 크게 나타났다. 이러한 결과는 공분산 차원을 확장할수록 IMD 응답의 전체 변동 수준(RMS)과 대표 피크 수준(평균 피크값)이 함께 증가하여, 손상 상태에서의 이상 반응이 보다 뚜렷해지는 경향을 정량적으로 뒷받침한다.

Fig. 5는 Table 1의 RMS 변화를 공분산 차원 $k$에 따라 시각화한 것으로, 파란 막대는 각 공분산 차원에서 계산된 IMD 시계열의 RMS 값을 나타내며, 빨간 선은 차원 증가에 따른 RMS 변화 경향을 보기 쉽도록 값을 연결한 선이다. 공분산 차원이 증가함에 따라 RMS가 지속적으로 증가하는 경향을 확인할 수 있다. 이는 공분산 차원 확장이 다지점 응답의 상관정보를 IMD에 반영하여 IMD 변동 수준(RMS)을 증가시키는 방향으로 작용함을 의미하며, 결과적으로 손상 구간에서의 이상 반응이 뚜렷하게 나타남을 확인할 수 있다.

4.2 공분산 차원에 따른 IMD 지표 개선 효과 분석

4.1절에서 확인한 바와 같이 공분산 차원이 증가하면 IMD의 피크 크기와 기준선(UCL) 초과 양상이 강화되지만, IMD는 시점별 통계적 거리 지표이므로 순간적인 외란에 민감하게 반응할 수 있다. 따라서 공분산 차원 확장에 따른 IMD 지표의 개선 효과를 보다 안정적으로 평가하기 위해, IMD 시계열을 시간 구간에서 요약하는 RMS를 도입하여 손상 영향의 지속성 및 에너지 수준을 정량화하였다. RMS는 단일 시점의 최대값보다 외란에 덜 민감하고, 손상으로 인해 반복·지속적으로 나타나는 이상 수준을 대푯값으로 반영할 수 있어 센서별 손상 구분 성능 비교 지표로 활용하기에 적합하다. 본 연구에서는 변동성을 충분히 반영하기 위해 30초 구간(총 16,000개 데이터)을 RMS 산정에 사용하였다. 구간 길이가 30초보다 짧아질 경우 RMS 추정의 변동성이 증가하여 대표성이 저하되며, 반대로 과도하게 길어질 경우 가진 신호가 약한 구간의 영향이 포함되어 손상에 따른 변화가 덜 두드러지게 나타난다. 계산 식은 다음 Eq. (10)과 같이 정의된다.

여기서 $IMD_{i,\: k}$는 시점 $i$에서 센서 $k$의 IMD 값이며, $N$은 IMD가 계산된 전체 시점 수(시계열 길이)를 의미한다. 즉, $R M S_{k}$는 센서 $k$의 IMD 시계열이 시간 구간 전체에서 얼마나 큰 수준으로 유지되는지를 나타내는 대푯값이다. 손상 케이스별 RMS 산정 결과 Fig. 6과 같이 손상 위치 인근에서 RMS가 증가하는 경향이 뚜렷하게 나타난다. 먼저 단일 손상의 경우, Fig. 6(a)와 같이 S2~7중 빨간색 마커로 표시된 S4의 RMS가 1.0401로 가장 크게 나타났고, 손상 케이블 주변에 위치한 계측 지점에서 IMD 에너지 수준이 가장 크게 유지됨을 확인할 수 있다. 이는 단일 손상 조건에서 손상 위치의 국부적 동특성 변화가 해당 구간의 응답에 상대적으로 크게 반영되었음을 의미한다. 또한, 복합 손상의 경우에는 Fig. 6(b)와 같이 센서별 RMS가 전반적으로 단일 손상 케이스보다 높은 수준을 보이며, 특히 빨간색 마커로 표시된 S3과 S6에서 가장 크게 나타났다. 복합 손상 조건에서는 두 손상 위치의 영향이 서로 다른 구간에 분산되어 나타나므로, 손상 구간에 인접한 센서들에서 RMS가 동시에 증가하는 양상이 관찰되며, 이는 복합손상이 구조물 응답의 이상 수준을 더 넓은 구간에 걸쳐 유발할 수 있음을 시사한다.

종합하면, IMD 시계열을 RMS로 요약함으로써 순간적 피크에 대한 민감도를 완화하면서, 손상에 의해 유발되는 이상 수준의 지속 효과를 정량화할 수 있었고, 센서별 RMS 분포를 통해 손상 위치 인근에서 지표가 강화되는 개선 효과를 보다 명확히 확인할 수 있었다. 이러한 RMS 기반 정량 비교는 공분산 차원 확장으로 인해 나타나는 IMD 변화가 일시적 피크 증가인지, 또는 지속적인 이상 수준 상승인지를 구분하는데 유효하다.