2.1 흐름해석 이론 설명

KICT-UF모형의 지표수 흐름 해석에는 보존형 천수방정식을 활용하였으며 일반적으로 보존형 방정식이 충격파의 질량이나 운동량 보존성에 있어서 더 우수하고^{(LeVeque, 2002)} 상류에서 사류로의 천이류 재현에 적합하며^{(Bourdarias and Gerbi, 2008)} Reynolds 수가 매우 큰 흐름에서 정확성과 안정성이 있는 것으로 알려져 있다^{(Audusse et al., 2004)}. 보존형의 천수방정식은 Eq. (1)과 같이 나타낼 수 있다.

Eq. (1)의 보존형 변수 벡터 $\mathbf{U}$와 $x$축 및 $y$축 방향의 흐름률 벡터 $\mathbf{F}$와 $\mathbf{G}$ 및 생성항 $\mathbf{S}$는 각각 다음과 같다.

Eq. (2)에서 $h$는 수심이며, $u$와 $v$는 각각 $x$축 및 $y$축 방향의 수심평균 유속을 나타낸다. 생성항에 포함된 $S_{o}$와 $S_{f}$는 각각 하상경사와 마찰경사를 나타내며, 마찰경사는 Manning 공식 또는 Chezy 공식을 이용하여 적용할 수 있다. 도심유역에 내린 강우는 연속방정식의 생성항에 포함된 e로 반영되며, 투수성 지표면에서 발생하는 침투량은 생성항의 $d$로 지배방정식에 반영한다. Eq. (2)의 변수들은 Fig. 3과 같은 삼각형 수치격자의 중심에 정의되며, 수치격자 각 변(cell interface)에서 정의되는 흐름율을 산정하고 흐름율에 따른 수치격자내의 물리적 변화를 산정하여 우수유동을 해석한다. 불규칙한 삼각형 격자망에 대하여 Eq. (1)을 이산화하기 위하여 Eq. (3)과 같이 적분하여 유한체적법을 적용한다.

우수관망 흐름 해석을 위하여 EPA SWMM 5.2 모형 중에서 관망해석에 필요한 EXTRAN 블록 일부를 본 모형에 반영하였다. EXTRAN 블록의 흐름에 대한 기본 방정식은 연속 방정식과 개수로에서 부정류 점변류(unsteady gradually varied flow)에 대한 1차원 Saint-Venant 방정식이다(Eqs. (4), (5)).

여기서, $A$는 관로 단면적, $Q$는 유량, $H$는 수위, $S_{f}$는 마찰경사를 의미한다.

2.2 강우 유출 방식

도시 홍수 분석에서 강우 유출 방법은 크게 두 가지 유형으로 나눌 수 있다. 첫 번째 방법은 강우를 지표에 유출(Rain-on-Grid; RoG)한 후 지표면 흐름을 모의하며, 맨홀이 연결된 수치격자에 유출수가 지나갈 때 맨홀의 수위와 비교하여 유량을 교환하는 방식이다. 이 방법은 실제 유출 경로와 수문학적 조건을 반영하여 지표수와 하수 시스템 간의 상호작용을 정밀하게 분석할 수 있다. 두 번째 방법은 분석 지역을 소유역으로 분할하여 맨홀의 집수구역으로 설정해두고, 집수구역을 대상으로 강우유출해석을 수행(Rain-on-Subcatchment; RoS)하여 관망 흐름의 소스항으로 사용하는 방식이다. 맨홀을 통해 배출되는 물의 양을 계산하여 지표면 흐름 모의를 위한 입력 데이터로 사용한다. 이 방법은 하수 시스템의 흐름을 효과적으로 모의하며 도시 환경에서 강우-유출 분석에 널리 사용되며 대표적으로 XP-SWMM에서 활용하고 있는 방식이다. KICT-UF 모형은 두 가지 유형의 강우유출방식을 선택하여 모의할 수 있다.

RoS 방식은 맨홀 용량을 초과하는 경우에만 지표면 흐름이 발생하므로, 맨홀 월류가 발생하지 않는 지역에서는 지표면 흐름이 발생하지 않는다. 반면, RoG 방식은 모든 지표면에 걸쳐 강우-유출을 모의하고 지표면 흐름과 맨홀 간의 흐름 교환을 수행하므로 보다 상세한 분석이 가능하다. 그러나 계산 시간이 더 오래 걸리고, 지표면 격자 해상도 및 건물 밀도와 같은 다양한 요인이 지표면 흐름 분석에 영향을 미치므로 초기 데이터의 정확성이 매우 중요하다.

RoG 방법은 SCS 유출곡선지수(Curve Number) 방법을 사용하여 유효 강우를 계산하고 강우를 지표면에 직접 유출하고, 지표수 해석모형을 활용하여 유출 흐름을 해석한다. 유역의 토양 및 토지 피복의 SCS 유출곡선지수 특성에 따라 유출곡선지수(CN)를 할당함으로써 직접 유출량을 계산할 수 있다. CN은 강우 이전의 토양 수분 조건에 따라 달라지며, 선행 토양 수분 조건은 선행 강수량의 크기에 따라 설정된다. SCS 유효 강우량 계산의 기초가 되는 총 강우량-유효 강우량 관계는 Eq. (6)과 같이 표현된다. 계산된 유효 강우량은 Eq. (2)의 소스항으로 활용된다. SCS-CN 적용 범위와 한계는 ^{Bougton(1989)}의 종설을 따른다.

여기서 $Q$는 유효 강우량, $P$는 총 강우량, $S$는 토지피복 조건에 따른 저류용량을 의미한다. 단, $P>0.2S$일 경우이며, $P\le 0.2S$ 이면 $Q=0$으로 계산된다.

맨홀방법은 절점(node)의 집수 구역을 비선형 저류지로 가정하며, RUNOFF 블록은 연속 방정식과 Manning 방정식을 사용하여 계산한다. 지표면 유출을 생성하는 집수 구역의 초기 지표면 저류량은 0이며 외부 유입은 없다. 유출구 단면은 유역이 주 배수관과 만나는 지점으로 가정하고, 방류 속도를 고려하여 총 유출량을 계산한다. Eq. (7)은 연속 방정식이며, Eq. (8)은 Manning 방정식을 이용한 지표면 유출 공식이다. 계산된 강우 유출량은 맨홀의 유입용량에 합산되어 Eqs. (4), (5)의 우수관망 흐름계산에 활용되며 초과 유량은 Eq. (2)의 소스항으로 활용된다.

여기서, $V$는 물의 체적 ($= A\bullet d$), $d$는 수심(m), $t$는 시간(s), $Q$는 유출량(㎥/s), $A_{s}$는 수표면 면적(㎡), $i$는 초과 강우량(㎧), $W$는 유역의 폭(m), $S$는 소유역 경사(m/m), $n$는 Manning의 조도계수, $d_{p}$는 지면저류 깊이(m)를 의미한다.

3.1 실험유역

본 연구에서는 강우-유출 방식에 따른 수치모의 결과를 비교하기에 앞서, 모형의 기본적인 유출 해석 성능을 검증하고자 정밀하게 통제된 실험 조건에서 취득된 실측 자료와 모의 결과를 비교하였다. 이를 위해 ^{Sañudo et al.(2022)}의 연구에서 활용된 대규모 도시 배수 물리 실험 시설의 데이터를 사용하였다. 해당 실험 시설은 스페인 코루냐 대학교(University of A Coruña) 수리 실험실에 설치된 것으로, 100 m² 면적의 실제 규모 교차로와 우수관망 시스템으로 구성되어 있다. 강우 모의장치는 시간당 30 mm, 50 mm, 80 mm의 균일한 강우를 생성할 수 있도록 설계되었다. ^{Sañudo et al.(2022)}는 이 시설을 이용하여 각기 다른 경사(16 %, 26 %, 37 %, 51 %)를 가진 4개의 지붕(길이 4.6 m, 폭 1.55 m)을 대상으로 강우강도 및 지속시간에 따른 유출 수문곡선을 실측하였다. 본 연구에서는 이 중 하나의 지붕 사례(지붕 경사 26 %)에 대하여 30 mm/hr, 50 mm/hr, 80 mm/hr의 일정 강우가 4분간 지속되는 조건의 실험 데이터를 활용하였다(Fig. 1).

Fig. 1. (Left) 4-min Steady Rainfall, (Right) Roof Precision Grid

Fig. 2. Study Area Map(Sangpyeong District)

3.2 실제유역

본 연구의 실제유역 적용 대상 지역은 경상남도 진주시 상평공단 일대로, 남강에 인접한 저지대 시가지 지역이다. 유역 면적은 약 2.42 km²이며, 토지이용 현황은 상업 및 공업지역이 41.3 %, 주거지역이 1.2 %, 교통지역이 48.2 %를 차지하여 불투수율이 높은 전형적인 도시유역 특성을 보인다(Fig. 2).

지표수 흐름 해석을 위한 2차원 수치 격자망은 국토지리정보원에서 제공하는 5 m 해상도의 DEM(Digital Elevation Model)을 기반으로 구축하였다. 건물 등 흐름에 영향을 미치는 주요 구조물을 반영하여 총 155,270개의 불규칙 삼각망(TIN)으로 구성하였으며, 격자의 평균 크기는 15.6 m²이다. 우수관망 자료는 진주시에서 제공하는 하수도 시설 대장을 활용하였으며, 맨홀 542개, 관로 536개의 관망 정보를 반영하였다. 토지피복에 따른 유출 특성을 고려하기 위해 환경부의 토지피복지도를 활용하였으며, CN값은 토지피복별 특성을 참고하여 산정하였다(Fig. 3).

강우 입력자료는 2024년 9월에 홍수피해가 발생한 강우사상을 활용하였다. 2024년 9월 태풍 풀라산의 영향으로 침수피해가 발생하였으며 진주시 ASOS 강우관측소 기준 307 mm의 집중호우로 남강의 수위상승에 의한 내수배제가 불가하여 침수피해가 발생하였다. 진주 강우관측소의 10분단위 관측자료를 활용하였으며, 9월 20일~21일의 48시간 강우사상에 대한 모의를 수행하였다. 대상지역의 외수위 경계조건 설정을 위하여 남강 하천정비기본계획 보고서^{(Ministry of Land, Infrastructure and Transport et al., 2013)}의 50년빈도 설계홍수위(EL. 21.09 m)를 적용하였다.

Fig. 3. Sangpyeong District Input Data and Numerical Grid

Fig. 4. Rainfall Scenarios(September 20-21, 2024)

4.1 도시침수 수리실험 사례 적용

본 연구에서는 이 중 경사 26 % 지붕에 대해 시간당 30, 50, 80 mm의 일정강우를 4분간 적용한 실험조건을 선정하였다. 해당 조건에 대해 KICT-UF 모형의 RoG 방식과 RoS 방식을 각각 적용하여 실험 데이터를 재현하였으며, 그 결과를 실측 유출 수문곡선과 비교·분석하였다(Fig. 5). 분석 결과를 정량적으로 비교하기 위해 RMSE(Root Mean Square Error), MAE(Mean Absolute Error), NSE(Nash-Sutcliffe Efficiency) 지표를 산정하였다(Fig. 5, Table 1). 오차지표(RMSE, MAE, NSE)는 전 시계열에 대해 산정하였으며, 정규화는 적용하지 않았다.

비교 결과, RoG 방식은 전 강우조건에서 RoS 방식보다 RMSE 및 MAE가 작게 나타났으며, 특히 80 mm/hr 강우 조건에서 RoG 방식의 RMSE는 0.0210으로 RoS 0.0491 대비 약 57 % 감소하였다. 50 mm/hr 강우 조건에서도 RoG(0.0077)가 RoS(0.0119)보다 약 35 % 작은 값을 보였으며, 30 mm/hr 강우 조건에서는 두 방식 간의 차이가 미미하였다. 이러한 차이는 두 기법의 지표 유출 해석 방법에 의한 것이다. RoS 방식은 비선형 저류지 개념과 Manning 방정식을 사용하는 반면, RoG 방식은 2차원 천수방정식(Dynamic wave)을 기반으로 지표 흐름을 직접 해석한다. 강우 강도가 낮을 때는 흐름이 마찰 항에 의해 지배되므로 두 방식의 차이가 작지만, 80 mm/hr와 같이 강우 강도가 커지면 유출 흐름의 가속/감속으로 인하여 발생하는 관성력의 영향이 중요해진다. MAE 또한 모든 조건에서 RoG 방식이 RoS 방식보다 작거나 동일한 수준을 보였다. 특히 80 mm/hr 강우에서 RoG(0.0028)가 RoS(0.0035)보다 약 20 % 낮게 나타나, 시간적 오차의 평균값 측면에서도 RoG 방식의 예측 안정성이 더 우수한 것으로 평가되었다. NSE는 모든 강우 조건에서 0.98 이상으로 나타나 두 방식 모두 실측치와 높은 적합성을 보였으나, RoG 방식이 전반적으로 0.003~0.01 정도 더 높은 값을 유지하였다. 특히 50 mm/hr 조건에서 RoG의 NSE는 0.9969로 실측수문곡선과 거의 일치하는 수준을 보였다. 이상의 결과를 종합하면, 실험유역과 같이 입력자료의 정확도가 높고 유출경로가 단순한 환경에서는 RoG 방식이 RoS 방식보다 첨두유량과 시계열 변화의 재현성이 우수하였다. 다만, 소규모 실험유역 규모에서는 두 방식 모두 관측자료와의 적합도가 매우 높아, 강우유출 해석 시 두 방법 모두 신뢰성 있는 결과를 제공할 수 있는 것으로 판단된다.

Fig. 5. Time Series Runoff Hydrological Curve by Rainfall Case. (a) 80 mm/hr, (b) 50 mm/hr, (c) 30 mm/hr

4.2 실제유역 적용 모의결과 비교

2024년 9월 태풍 ‘풀라산’ 기간 동안 발생한 진주시 상평공단 일대의 침수피해 사례를 대상으로, RoG 방식과 RoS 방식의 침수모의 결과를 최대침수면적과 침수흔적도를 기준으로 비교·분석하였다(Fig. 6). 침수 분석 결과, RoG 방식의 최대 침수면적은 약 0.056 km², RoS 방식은 약 0.028 km²로 산정되었으며, RoG 방식의 침수면적이 RoS 대비 약 2배 정도 크게 나타났다. 침수흔적도를 기준으로 한 공간 일치율은 RoG 방식 81.1 %, RoS 방식 78.3 %로 산정되었다. RoG 방식이 더 넓은 침수면적을 나타낸 원인은 입력자료의 단순화에 따른 관망의 집수한계와 지표 흐름의 직접 모의 특성에 기인한다. 특히, 상평지구의 간소화된 관망 구성(빗물받이 미반영)으로 인해 맨홀별 강우 집수용량이 제한되었으며, 이에 따라 RoG 방식에서는 일부 지역에서 실제보다 침수면적이 과대 산정되는 경향을 보였다. 반면, RoS 방식은 각 맨홀의 집수구역 단위로 강우유출을 계산하기 때문에 지표면에서 발생하는 유출이 맨홀 집수용량에 종속적으로 배제되며, 저지대 지역 중 맨홀이 위치하지 않은 격자에서는 유출이 잔류하여 지표침수가 과소평가되는 한계를 보였다. 즉, RoS 방식은 맨홀 중심의 유출모의로 인해 실제 지표유동의 공간적 연속성을 충분히 재현하지 못하였고, RoG 방식은 이러한 흐름을 상세히 반영하나, 입력자료의 해상도에 따라 과대 모의가 발생할 수 있음을 확인하였다.

질량수지(mass balance) 비교 그래프(Fig. 7)에서 Grid to Node는 격자에서 맨홀로 유입된 양을 의미하며, Rain to Node는 RoS 방식으로 Node에 직접 유출된 강우의 양을 의미한다. 총 질량 오차는 맨홀 유입 총량(Q_in)을 유출 총량(Q_out)으로 나누어서 산정하였다. 분석결과, 두 방식 모두 오차율은 0.1 % 미만으로 모형의 안정성은 적절한 것으로 분석되었다. 맨홀의 초과유량은 RoG 방식이 RoS 방식에 비해 약 15 % 적게 나타났으며, 지표 적체 용량은 RoG 방식이 3.5배 많게 나타났다. 이는 RoG 방식이 지표유출 해석 시 격자 단위로 유량교환을 수행하므로, 지표수의 흐름에 따라 맨홀 유입이 수두 차에 의해 결정되는 KICT-UF 모형의 구조적 특성에 기인하는 것으로 판단된다(Fig. 7).

Fig. 6. Comparison of Coincidence Rates by Rainfall Runoff Method Based on the Inundation Trace Map. (a) Maximum Inundation Area (RoG), (b) Maximum Inundation Area(RoS)

Fig. 7. Comparison of Mass Balance

두 방식의 계산 효율성을 비교하기 위하여 동일한 모의 조건에서 연산시간을 분석하였다. 모의는 AMD Ryzen 7 7700X (4.5 GHz, 8cores), 32 GB RAM, OpenMP Parallel 환경에서 수행하였다. 48시간 강우사상에 대한 계산시간은 RoG 방식 94 min 54 s, RoS 방식 약 82 min 08 s로, RoS 방식이 약 12 % 빠른 계산속도를 나타내었다. 이는 RoG 방식이 모든 격자에 대해 강우-유출 계산을 수행해야 하므로 연산 부하가 증가한 데 따른 결과이다. 이상의 결과를 종합하면, 실제 도시유역의 복잡한 배수구조와 공간적 불확실성을 고려할 때 RoG 방식은 세밀한 침수심 분포 재현에 유리하나, 입력자료의 해상도와 관망 상세도에 따라 침수면적이 과대 산정될 가능성이 있다. 반면 RoS 방식은 계산 효율성이 높고 침수면적의 과대평가가 적으나, 저지대 미반영 문제로 인해 실제 침수흔적도와의 공간 일치율이 낮게 나타났다. RoS와 RoG 방식의 적용 시에 다음과 같은 사항을 추가적으로 고려하여야 한다. RoS의 경우에는 맨홀의 집수유역 구성 시, 해당 맨홀의 실제 유입 용량과 통수능을 과도하게 초과하지 않도록 유역 분할을 선행하여야 한다. 간소화된 관망으로 인하여 단일 맨홀의 집수용량이 과도하게 산정될 경우, 초과유량으로 계산되어 실제 자연현상을 잘 반영하기 어려울 수 있기 때문이다. RoG의 경우에는 전체 격자에 강우가 유출되므로 DEM, 건물영역 등 공간정보의 품질에 매우 민감하게 반응한다. 수치격자 생성 시, 공간정보의 정밀도를 고려한 격자 크기를 설정할 필요가 있다. 따라서, 도시침수 모의 시 분석 대상지역의 공간정보 정확도와 관망자료의 세부 수준을 고려하여 강우유출 방식을 적절히 선택하는 것이 중요함을 확인하였다.