2.1 해석 방법
해석방법을 설명하기 위해, 기존에 이미 발표된(Won, 2025) 일부 내용을 응용하여 본 논문에서 다시 제시하였다.
반복구조물의 고유진동수는 공명 상태에서 구조물의 처짐 모드 형상에 따라 확산하기 시작하는 주파수로 정의된다. 자유진동에 의해 발생하는 처짐으로부터,
해당 처짐을 유발하는 데 필요한 관성력을 산정할 수 있다. 이 과정에서 결정된 모드 형상이 충분히 정확하다면, 반복 계산과정에서 수렴된 값과 바로
이전 값 사이의 상대적인 최대 처짐은 관성력 하에서 일정하게 유지된다.
구조물의 진동은 조화운동(harmonic motion)으로 간주할 수 있으며, 진동의 진폭 형상은 삼각함수로 표현이 가능하다. 제 1모드만을 고려할
경우, 구조부재의 처짐 형상은 다음 Eq. (1)과 같이 표현된다.
여기서 W는 최대 진폭, ω는 고유 진동 주파수, t는 시간이다. Newton의 운동법칙에 따라 진동하는 질량 m의 동적 관성력은 다음 Eq. (2)와 같이 표현된다.
Eq. (1)을 Eq. (2)에 대입하면 다음과 같은 Eq. (3)을 얻을 수 있다.
여기서 ω와 W는 미지수이다. 고유진동수 ω를 구하기 위해, 구조물의 특정 위치에서 최대 처짐의 진폭을 임의로 설정한다.
여기서 (i, j)는 계산에 고려된 지점 좌표를 의미한다. 이 값은 절대적인 값이 아니며, 경험적으로 적절한 값을 가정하는 것이 수렴 속도 향상에
유리하다. 이후 이 최대 진폭에 대응하는 동적 관성력은 다음 Eq. (5)로 표현된다.
이 관성력에 의해 발생하는 새로운 변위는 처짐 영향계수를 이용하여 다음 Eq. (6)으로 계산할 수 있다.
여기에서 Δ(i, j)는 처짐에 대한 영향계수(deflection influence coefficient)이다. 공진 상태에서는 구조부재의 모든 지점에서
Eq. (4)와 Eq. (6)으로 계산된 변위가 동일해야 하므로 다음 조건을 만족해야 한다.
Eq. (7)로부터 각 지점의 고유진동수 ω(i, j)(1) 값을 계산할 수 있으나, 대부분의 경우 이 값은 지점마다 약간의 차이를 보인다. 구조부재의 고유진동수는
부재의 모든 지점에서 동일해야 하므로 ω(i, j) 값이 모든 지점에서 충분히 동일해질 때까지 이 과정을 반복 수행한다. 일반적으로 첫 번째 사이클(Cycle)에서
계산된 ω(i, j)의 최댓값과 최솟값의 차이는 공학적으로 무시할 수 있을 정도이며, 평균값을 사용하거나 최대 처짐 지점의 ω(i, j) 값을 선택하여
해석 정확도를 높일 수 있다.
두 번째 사이클에서는 다음 Eq. (8)과 같은 방식으로 계산된 절대 처짐값을 사용하여 편리하게 수렴 여부를 확인할 수 있다.
판의 자중과 (m1, n1)에 위치한 첨가질량을 동시에 고려할 경우에는 다음 Eq. (9)을 사용할 수 있다.
또한 판의 자중과 두 곳 (m1, n1)와 (m2, n2)에 위치한 첨가질량을 동시에 고려할 경우에는 다음 Eq. (10)을 사용할 수 있다.
이와 같이 여러 곳에 첨가질량이 존재하는 경우 비교적 간단한 방법으로 고유진동수를 계산할 수 있다. 복합재료 구조물을 포함하여 불규칙한 단면과 이상적인
지지조건이 아닌 경우에는, 경계조건과 관계없이 판을 여러 개의 요소로 분할하여 해석하는 것이 효율적이다.
2.2 복합적층판의 영향계수
본 연구에서 고려한 복합적층판은 적층 수가 증가할수록 연계강성(coupling stiffness)이 감소하게 되어, 특별직교이방성(special orthotropic)
판의 해석 방정식을 적용할 경우 매우 정확한 결과를 얻을 수 있다. 이에 본 연구에서는 횡방향 하중 q(x, y)을 받는, 사변 단순지지된 특별직교이방성
적층판을 대상으로 하였다. 이때, 열과 습열효과는 무시하였다.
해당 판의 처짐과 외력은 다음 Eq. (11) and (12) 같이 이중 푸리에 급수(Fourier series)로 표현할 수 있다.
여기서 a, b는 판의 길이 및 폭을 의미하며, m, n은 푸리에 급수의 항 번호를 나타낸다. 특별직교이방성 적층판의 지배방정식은 다음 Eq. (13)과 같다.
여기서 $D_{3}=D_{12}+2D_{66}$이다. Eq. (11) and (12)를 Eq. (13)에 대입하고 m, n의 정해진 값에 대해 정리하면, 다음 Eq. (14)와 같은 관계를 얻을 수 있다.
여기서 Eq. (15)는 다음과 같다.
단순지지된 특별직교이방성 적층판에 대하여, Fig. 1과 같이 직사각형 면적 u×v에 균등하게 분포된 부분하중 q(x, y)가 작용할 때 m과 n의 고정된 값에 대한 푸리에 계수 qmn은 다음 Eq.
(16)과 같다.
Fig. 1. Considered Laminated Plate under Transverse Load
u→0이고 v→0인 집중하중의 경우에 Eq. (16)은 다음 Eq. (17)로 된다.
Eq. (17)을 Eq. (16)에 대입하면 다음 Eq. (18)과 같이 된다.
이로부터 처짐 영향계수(influence coefficient)는 다음 Eq. (19)로 계산할 수 있다.
Eq. (19)로부터 계산된 처짐 영향계수와 앞 절에서 설명한 고유진동수 해석방법을 조합하여, 복합적층판의 고유진동수를 효율적으로 산정할 수 있다.